Как решить систему уравнений:

1. 2 - cos(x) = 2sin²(x)
2. sin(2x) = cos(3x)

Алгебра 11 класс Системы тригонометрических уравнений решение системы уравнений алгебра 11 класс тригонометрические уравнения sin и cos методы решения уравнений Новый

Для решения системы уравнений:

1) 2 - cos(x) = 2sin²(x)

2) sin(2x) = cos(3x)

мы будем решать каждое уравнение по отдельности, а затем искать общие решения.

Шаг 1: Решим первое уравнение.

Начнем с уравнения:

2 - cos(x) = 2sin²(x)

Мы знаем, что sin²(x) = 1 - cos²(x) (это следует из основного тригонометрического тождества). Подставим это в уравнение:

• 2 - cos(x) = 2(1 - cos²(x))

Упростим уравнение:

• 2 - cos(x) = 2 - 2cos²(x)

Теперь, уберем 2 с обеих сторон:

• -cos(x) = -2cos²(x)

Умножим обе стороны на -1:

• cos(x) = 2cos²(x)

Переносим все в одну сторону:

• 2cos²(x) - cos(x) = 0

Факторизуем:

• cos(x)(2cos(x) - 1) = 0

Теперь у нас есть два случая:

1. cos(x) = 0
2. 2cos(x) - 1 = 0, что дает cos(x) = 1/2

Решим каждый из них:

• Для cos(x) = 0: x = π/2 + kπ, где k - целое число.
• Для cos(x) = 1/2: x = π/3 + 2kπ или x = 5π/3 + 2kπ, где k - целое число.

Шаг 2: Решим второе уравнение.

Теперь рассмотрим второе уравнение:

sin(2x) = cos(3x)

Используем тождество для синуса двойного угла:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Таким образом, уравнение становится:

• 2sin(x)cos(x) = cos(3x)

Также можем выразить cos(3x) через cos(x) и sin(x) с помощью формулы:

• cos(3x) = 4cos³(x) - 3cos(x)

Теперь у нас есть:

• 2sin(x)cos(x) = 4cos³(x) - 3cos(x)

Переносим все в одну сторону:

• 4cos³(x) - 3cos(x) - 2sin(x)cos(x) = 0

Факторизуем:

• cos(x)(4cos²(x) - 3 - 2sin(x)) = 0

Здесь есть два случая:

1. cos(x) = 0
2. 4cos²(x) - 3 - 2sin(x) = 0

Первый случай уже был решен: x = π/2 + kπ.

Теперь решим второй случай:

Заменим sin(x) через cos(x) с использованием sin²(x) + cos²(x) = 1:

• sin(x) = sqrt(1 - cos²(x))

Подставляем это в уравнение:

• 4cos²(x) - 3 - 2sqrt(1 - cos²(x)) = 0

Это уравнение может быть решено численно или графически, так как оно не имеет простого аналитического решения.

Шаг 3: Подводим итоги.

Итак, у нас есть решения для:

• cos(x) = 0: x = π/2 + kπ
• cos(x) = 1/2: x = π/3 + 2kπ или x = 5π/3 + 2kπ
• Для sin(2x) = cos(3x) мы нашли cos(x) = 0 и уравнение, которое требует дальнейшего анализа.

Объедините все найденные решения, чтобы получить полное множество решений для данной системы уравнений.