Чтобы решить систему уравнений:

• 1) x² - 5y² + 1 = 0
• 2) 3xy + 7y² = 1

Начнем с первого уравнения. Перепишем его в более удобной форме:

x² - 5y² = -1

Теперь выразим x² через y²:

x² = 5y² - 1

Теперь подставим это выражение для x² во второе уравнение:

3xy + 7y² = 1

Для этого нам нужно выразить x через y. Мы знаем, что x² = 5y² - 1, следовательно:

x = ±√(5y² - 1)

Подставим это значение x в уравнение 2:

3(±√(5y² - 1))y + 7y² = 1

Рассмотрим оба случая, когда x положительное и отрицательное:

Подставим это значение в уравнение 2:

3√(5y² - 1)y + 7y² = 1

Теперь упростим это уравнение:

3y√(5y² - 1) + 7y² = 1

3y√(5y² - 1) = 1 - 7y²

Теперь возведем обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(3y√(5y² - 1))² = (1 - 7y²)²

9y²(5y² - 1) = (1 - 14y² + 49y^4)

Упрощаем уравнение:

45y^4 - 9y² = 1 - 14y² + 49y^4

45y^4 - 49y^4 + 14y² - 9y² - 1 = 0

-4y^4 + 5y² - 1 = 0

Умножим на -1:

4y^4 - 5y² + 1 = 0

Теперь сделаем замену: пусть z = y². Тогда у нас получится квадратное уравнение:

4z² - 5z + 1 = 0

Решим его с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-5)² - 4*4*1 = 25 - 16 = 9

Корни уравнения:

z1,2 = (5 ± √9) / (2*4) = (5 ± 3) / 8

z1 = 1, z2 = 1/4

Теперь вернемся к y:

y² = 1 → y = ±1

y² = 1/4 → y = ±1/2

Теперь подставим найденные значения y обратно в выражение для x:

x² = 5(1)² - 1 = 4 → x = ±2

x² = 5(-1)² - 1 = 4 → x = ±2

x² = 5(1/2)² - 1 = 5/4 - 1 = -1 (нет решения)

x² = 5(-1/2)² - 1 = 5/4 - 1 = -1 (нет решения)

Таким образом, мы получили следующие решения:

• (2, 1)
• (-2, 1)
• (2, -1)
• (-2, -1)

Таким образом, система уравнений имеет 4 решения: (2, 1), (-2, 1), (2, -1), (-2, -1).