Чтобы решить уравнение 1/(x(x-1)) + 1/(x(x+1)) + 1/((x+1)(x-1)) = 3/x² - 1, давайте начнем с приведения всех дробей к общему знаменателю.

Общий знаменатель для левой части уравнения будет x(x-1)(x+1). Теперь перепишем каждую дробь с этим знаменателем:

• Первая дробь: 1/(x(x-1)) превращается в (x+1)/[x(x-1)(x+1)].
• Вторая дробь: 1/(x(x+1)) превращается в (x-1)/[x(x+1)(x-1)].
• Третья дробь: 1/((x+1)(x-1)) превращается в x/[x(x-1)(x+1)].

Теперь запишем левую часть уравнения с общим знаменателем:

(x+1)/(x(x-1)(x+1)) + (x-1)/(x(x+1)(x-1)) + x/(x(x-1)(x+1)) = (x+1 + x-1 + x)/[x(x-1)(x+1)]

Упростим числитель:

(x + 1 + x - 1 + x) = 3x

Таким образом, левая часть уравнения становится:

3x/[x(x-1)(x+1)]

Теперь у нас есть:

3x/[x(x-1)(x+1)] = 3/x² - 1

Теперь давайте упростим правую часть уравнения. Приведем к общему знаменателю:

3/x² - 1 = 3/x² - x²/x² = (3 - x²)/x²

Теперь у нас есть:

3x/[x(x-1)(x+1)] = (3 - x²)/x²

Теперь мы можем крест-умножить:

3x * x² = (3 - x²) * x(x-1)(x+1)

Упрощаем:

3x³ = (3 - x²)(x² - 1)

Раскроем скобки:

3x³ = 3x² - x^4 - 3 + x²

Теперь соберем все в одну сторону:

x^4 - 4x² + 3 = 0

Это квадратное уравнение относительно x². Обозначим y = x²:

y² - 4y + 3 = 0

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*3 = 16 - 12 = 4

Корни:

y = (4 ± sqrt(4))/2 = (4 ± 2)/2

y₁ = 3, y₂ = 1

Теперь вернемся к переменной x:

• Если y = x² = 3, тогда x = ±sqrt(3).
• Если y = x² = 1, тогда x = ±1.

Таким образом, у нас есть четыре корня: x = sqrt(3), -sqrt(3), 1, -1.

Теперь проверим, не являются ли корни недопустимыми (например, деление на ноль в исходном уравнении):

• x = 1 и x = -1 приводят к делению на ноль.
• Поэтому допустимые корни: x = sqrt(3) и x = -sqrt(3).

Таким образом, окончательный ответ:

x = sqrt(3) и x = -sqrt(3).