Как решить уравнение √3sin2x+3cos2x=3 и найти все корни на промежутке [3п/2;3п]?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрии решить уравнение корни уравнения алгебра тригонометрические функции промежуток [3п/2;3п] Новый

Чтобы решить уравнение √3sin(2x) + 3cos(2x) = 3, давайте сначала преобразуем его и найдем все корни на заданном промежутке [3π/2; 3π].

Шаг 1: Преобразуем уравнение

• Мы можем выразить cos(2x) через sin(2x). Используем основное тригонометрическое тождество: sin²(θ) + cos²(θ) = 1.
• Выразим cos(2x): cos(2x) = √(1 - sin²(2x)).
• Подставим это выражение в уравнение:

√3sin(2x) + 3√(1 - sin²(2x)) = 3

Шаг 2: Введем замену

• Обозначим sin(2x) = t. Тогда уравнение примет вид:

√3t + 3√(1 - t²) = 3

Шаг 3: Изолируем корень

• Переносим √3t на правую сторону:

3√(1 - t²) = 3 - √3t

Шаг 4: Делим обе стороны на 3

• Получаем:

√(1 - t²) = 1 - (√3/3)t

Шаг 5: Возводим обе стороны в квадрат

• Убираем корень:

1 - t² = (1 - (√3/3)t)²

Шаг 6: Раскроем квадрат

• Раскрываем скобки:

1 - t² = 1 - (2√3/3)t + (3/9)t²

Шаг 7: Переносим все в одну сторону

• Соберем все члены:

0 = (3/9)t² - t² + (2√3/3)t

Шаг 8: Упрощаем уравнение

• Упрощаем:

0 = (-6/9)t² + (2√3/3)t

Шаг 9: Умножим на -9

• Получаем:

0 = 6t² - 6√3t

Шаг 10: Вынесем общий множитель

• Вынесем 6t:

0 = 6t(t - √3)

Шаг 11: Находим корни

• Корни уравнения:
• t = 0 или t = √3.

Шаг 12: Возвращаемся к sin(2x)

• Так как t = sin(2x), то:
• sin(2x) = 0 или sin(2x) = √3.

Шаг 13: Находим значения x

• Для sin(2x) = 0:
• 2x = nπ, где n - целое число.
• x = nπ/2.
• Теперь подставляем n = 3 и n = 4 (для нахождения корней на промежутке [3π/2; 3π]):
• x = 3π/2 (n = 3) и x = 2π (n = 4).

Шаг 14: Для sin(2x) = √3

• 2x = π/3 + 2kπ и 2x = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число.
• Решим для x:
• x = π/6 + kπ и x = π/3 + kπ.

Шаг 15: Подставляем значение k

• Для k = 1:
• x = π/6 + π = 7π/6 (не входит в промежуток), x = π/3 + π = 4π/3 (не входит в промежуток).
• Для k = 0:
• x = π/6 (не входит в промежуток), x = π/3 (не входит в промежуток).

Шаг 16: Итоговые корни

• Таким образом, корни уравнения на промежутке [3π/2; 3π]:
• x = 3π/2 и x = 2π.

Ответ: x = 3π/2 и x = 2π.