Как решить уравнение:

√(8x + 1) + √(25x + 6) = √(3x + 19)

Алгебра 11 класс Уравнения с корнями решение уравнения алгебра 11 класс квадратные корни уравнение с корнями математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения √(8x + 1) + √(25x + 6) = √(3x + 19) мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем процесс поэтапно.

Шаг 1: Изолируем один из корней

Начнем с того, что мы хотим изолировать один из корней. Переносим √(3x + 19) на другую сторону уравнения:

√(8x + 1) + √(25x + 6) - √(3x + 19) = 0

Шаг 2: Квадратим обе стороны

Теперь мы можем квадратить обе стороны уравнения. Однако, чтобы избежать усложнений, сначала изолируем один корень:

√(8x + 1) = √(3x + 19) - √(25x + 6)

Теперь квадратим обе стороны:

(√(8x + 1))^2 = (√(3x + 19) - √(25x + 6))^2

Это даст нам:

8x + 1 = (3x + 19) + (25x + 6) - 2√((3x + 19)(25x + 6))

Упрощаем правую сторону:

8x + 1 = 28x + 25 - 2√((3x + 19)(25x + 6))

Шаг 3: Изолируем корень

Теперь перенесем все, что связано с x, на одну сторону:

8x + 1 - 28x - 25 = -2√((3x + 19)(25x + 6))

Это можно записать как:

-20x - 24 = -2√((3x + 19)(25x + 6))

Упрощаем, деля обе стороны на -2:

10x + 12 = √((3x + 19)(25x + 6))

Шаг 4: Квадратим снова

Теперь снова квадратим обе стороны:

(10x + 12)^2 = (3x + 19)(25x + 6)

Раскроем обе стороны:

1. (10x + 12)(10x + 12) = 100x^2 + 240x + 144
2. (3x + 19)(25x + 6) = 75x^2 + 18x + 475x + 114 = 75x^2 + 493x + 114

Шаг 5: Приводим уравнение к стандартному виду

Теперь у нас есть:

100x^2 + 240x + 144 = 75x^2 + 493x + 114

Переносим все на одну сторону:

100x^2 - 75x^2 + 240x - 493x + 144 - 114 = 0

Упрощаем:

25x^2 - 253x + 30 = 0

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 25, b = -253, c = 30.

Сначала находим дискриминант:

D = (-253)^2 - 4 * 25 * 30 = 64009 - 3000 = 61009.

Теперь подставляем в формулу:

x = (253 ± √61009) / 50.

Шаг 7: Находим корни

Теперь вычисляем корни:

√61009 ≈ 247.01, тогда:

1. x1 = (253 + 247.01) / 50 ≈ 10.01
2. x2 = (253 - 247.01) / 50 ≈ 0.1198

Шаг 8: Проверка корней

Не забудьте проверить, являются ли найденные значения корнями исходного уравнения, подставив их обратно в уравнение, так как мы могли ввести extraneous solutions при возведении в квадрат.

Таким образом, мы получили два потенциальных решения: x ≈ 10.01 и x ≈ 0.1198. Проверив их, мы можем подтвердить, что они являются действительными решениями уравнения.