Как решить уравнение cos2x + корень из 3cos(п/2 - x) + 2 = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические решить уравнение cos2x корень из 3 cos п/2 x алгебра уравнения Тригонометрия математические задачи Новый

Для решения уравнения cos(2x) + √3 * cos(π/2 - x) + 2 = 0 начнем с упрощения выражения.

Первое, что мы можем сделать, это использовать тригонометрическую идентичность: cos(π/2 - x) = sin(x). Подставим это в уравнение:

• cos(2x) + √3 * sin(x) + 2 = 0

Теперь у нас есть уравнение, содержащее функции косинуса и синуса. Далее, мы можем воспользоваться формулой для cos(2x), которая равна cos²(x) - sin²(x) или 2cos²(x) - 1 или 1 - 2sin²(x). Мы используем последнюю:

• 1 - 2sin²(x) + √3 * sin(x) + 2 = 0

Теперь упростим уравнение:

• -2sin²(x) + √3 * sin(x) + 3 = 0

Умножим всё уравнение на -1 для удобства:

• 2sin²(x) - √3 * sin(x) - 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим y = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

• 2y² - √3y - 3 = 0

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения ay² + by + c = 0:

• y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

Здесь a = 2, b = -√3, c = -3. Подставим значения:

• y = (√3 ± √((-√3)² - 4 * 2 * (-3))) / (2 * 2)
• y = (√3 ± √(3 + 24)) / 4
• y = (√3 ± √27) / 4
• y = (√3 ± 3√3) / 4

Теперь у нас есть два значения для y:

• y₁ = (4√3) / 4 = √3
• y₂ = (-2√3) / 4 = -√3/2

Теперь вернемся к sin(x):

• sin(x) = √3 (это невозможно, так как sin(x) не может превышать 1)
• sin(x) = -√3/2

Решение sin(x) = -√3/2 даёт два угла:

• x = 7π/6 + 2kπ
• x = 11π/6 + 2kπ

где k — любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения cos(2x) + √3 * cos(π/2 - x) + 2 = 0 будет:

• x = 7π/6 + 2kπ
• x = 11π/6 + 2kπ