Как решить уравнение tg^2 (5x+sin^2y) + | (5x+cos2y)/3 + 3/(5x+cos2y) | = 4 cos^2 (7p/4), которое представляет собой сложную задачу с факультета ВМК?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими и модульными функциями решение уравнения алгебра 11 класс сложные задачи алгебры тригонометрические функции модульные уравнения методы решения уравнений Новый

Для решения данного уравнения, давайте разберем его по частям и последовательно упростим.

Шаг 1: Упрощение правой части уравнения

Сначала рассмотрим правую часть уравнения: 4 cos^2 (7π/4). Мы знаем, что cos(7π/4) = cos(π/4) = √2/2. Таким образом,:

• cos^2(7π/4) = (√2/2)^2 = 2/4 = 1/2.
• Следовательно, 4 cos^2(7π/4) = 4 * (1/2) = 2.

Шаг 2: Переписываем уравнение

Теперь у нас есть уравнение:

tg^2(5x + sin^2y) + |(5x + cos2y)/3 + 3/(5x + cos2y)| = 2.

Шаг 3: Решение левой части уравнения

Рассмотрим левую часть уравнения. Мы видим, что она состоит из двух частей: tg^2(5x + sin^2y) и абсолютного значения.

Шаг 4: Анализ функции tg^2

Поскольку tg^2 всегда неотрицательно, мы можем записать:

tg^2(5x + sin^2y) >= 0.

Следовательно, левая часть уравнения может принимать значения от 0 до 2.

Шаг 5: Анализ абсолютного значения

Теперь рассмотрим абсолютное значение:

|(5x + cos2y)/3 + 3/(5x + cos2y)|.

Эта часть может быть как положительной, так и отрицательной, но в любом случае ее модуль будет неотрицательным.

Шаг 6: Условия для решения уравнения

Так как мы знаем, что tg^2(5x + sin^2y) >= 0 и абсолютное значение также >= 0, то сумма этих двух частей должна равняться 2.

Это означает, что:

• tg^2(5x + sin^2y) = 0, и
• |(5x + cos2y)/3 + 3/(5x + cos2y)| = 2.

Шаг 7: Решение tg^2(5x + sin^2y) = 0

tg^2(5x + sin^2y) = 0, когда 5x + sin^2y = nπ, где n - целое число.

Шаг 8: Решение абсолютного значения

Теперь решим вторую часть:

|(5x + cos2y)/3 + 3/(5x + cos2y)| = 2.

Это дает два случая:

1. (5x + cos2y)/3 + 3/(5x + cos2y) = 2,
2. (5x + cos2y)/3 + 3/(5x + cos2y) = -2.

Шаг 9: Решение каждого случая

Решая первый случай, мы можем умножить обе стороны на (5x + cos2y) и решить уравнение:

(5x + cos2y) + 9/(5x + cos2y) = 6.

Для второго случая аналогично, но необходимо быть внимательным к возможным значениям переменных.

Шаг 10: Подведение итогов

После того как вы найдёте значения 5x + sin^2y и 5x + cos2y, вы сможете подставить их обратно в уравнение, чтобы найти x и y.

Таким образом, решение уравнения требует последовательного подхода и проверки условий, что и было продемонстрировано выше.