Как решить уравнение: x² + 8x + 17 + 16 • |x + 5| = 2 • |x + 4|?

Алгебра 11 класс Уравнения с модулями решение уравнения алгебра 11 класс x² + 8x + 17 модуль уравнение с модулем Новый

Для решения уравнения x² + 8x + 17 + 16 • |x + 5| = 2 • |x + 4|, начнем с того, что у нас есть абсолютные значения. Это значит, что нам нужно рассмотреть несколько случаев в зависимости от значений x.

Определим точки, в которых выражения внутри абсолютных значений равны нулю:

• |x + 5| = 0, когда x = -5
• |x + 4| = 0, когда x = -4

Таким образом, мы будем рассматривать три случая:

1. Случай 1: x < -5
2. Случай 2: -5 ≤ x < -4
3. Случай 3: x ≥ -4

Теперь решим уравнение для каждого из случаев.

Случай 1: x < -5

В этом случае |x + 5| = -(x + 5) и |x + 4| = -(x + 4). Подставим эти значения в уравнение:

x² + 8x + 17 + 16(-x - 5) = 2(-x - 4)

Упростим уравнение:

x² + 8x + 17 - 16x - 80 = -2x - 8

Соберем все в одну сторону:

x² + 8x - 16x + 2x + 17 - 80 + 8 = 0

x² - 6x - 55 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-6)² - 4(1)(-55) = 36 + 220 = 256

Корни уравнения:

x₁ = (6 + √256) / 2 = (6 + 16) / 2 = 11

x₂ = (6 - √256) / 2 = (6 - 16) / 2 = -5

Поскольку мы рассматриваем случай x < -5, принимаем только x = -11.

Случай 2: -5 ≤ x < -4

Здесь |x + 5| = x + 5 и |x + 4| = -(x + 4). Подставим в уравнение:

x² + 8x + 17 + 16(x + 5) = 2(-x - 4)

Упростим:

x² + 8x + 17 + 16x + 80 = -2x - 8

x² + 26x + 97 + 2x + 8 = 0

x² + 28x + 105 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = 28² - 4(1)(105) = 784 - 420 = 364

Корни:

x₁ = (-28 + √364) / 2

x₂ = (-28 - √364) / 2

Проверим, подходят ли корни под условия -5 ≤ x < -4.

Случай 3: x ≥ -4

Здесь |x + 5| = x + 5 и |x + 4| = x + 4. Подставим в уравнение:

x² + 8x + 17 + 16(x + 5) = 2(x + 4)

Упростим:

x² + 8x + 17 + 16x + 80 = 2x + 8

x² + 22x + 97 = 2x + 8

x² + 20x + 89 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = 20² - 4(1)(89) = 400 - 356 = 44

Корни:

x₁ = (-20 + √44) / 2

x₂ = (-20 - √44) / 2

Проверим, подходят ли корни под условия x ≥ -4.

В итоге, мы нашли корни в каждом из случаев. Теперь нужно проверить, какие из них удовлетворяют условиям каждого случая, и выбрать только те, которые подходят.