Как составить уравнение касательной к графику функции y=-х^3-2х^2-3х+5 в точке, где абсцисса х равна -2? Прошу предоставить подробное объяснение решения.

Алгебра 11 класс Уравнения касательной к графику функции Уравнение касательной график функции алгебра 11 класс производная точка касания абсцисса решение уравнения функции третьей степени математический анализ прикладная математика Новый

Чтобы составить уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти значение функции в точке x = -2.

Сначала подставим x = -2 в уравнение функции y = -x^3 - 2x^2 - 3x + 5:

• y = -(-2)^3 - 2(-2)^2 - 3(-2) + 5
• y = -(-8) - 2(4) + 6 + 5
• y = 8 - 8 + 6 + 5
• y = 11

Таким образом, координаты точки касания будут (-2, 11).

Шаг 2: Найти производную функции.

Чтобы найти угол наклона касательной, нужно вычислить производную функции y по x:

• y' = d/dx(-x^3) - d/dx(2x^2) - d/dx(3x) + d/dx(5)
• y' = -3x^2 - 4x - 3

Шаг 3: Найти значение производной в точке x = -2.

Теперь подставим x = -2 в производную:

• y'(-2) = -3(-2)^2 - 4(-2) - 3
• y'(-2) = -3(4) + 8 - 3
• y'(-2) = -12 + 8 - 3
• y'(-2) = -7

Таким образом, угловой коэффициент касательной в этой точке равен -7.

Шаг 4: Составить уравнение касательной.

Уравнение касательной можно записать в виде:

y - y0 = k(x - x0),

где (x0, y0) - координаты точки касания, а k - угловой коэффициент касательной.

Подставим найденные значения:

• x0 = -2
• y0 = 11
• k = -7

Уравнение будет выглядеть так:

• y - 11 = -7(x + 2)

Шаг 5: Преобразовать уравнение.

Теперь упростим уравнение:

• y - 11 = -7x - 14
• y = -7x - 14 + 11
• y = -7x - 3

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = -x^3 - 2x^2 - 3x + 5 в точке, где x = -2, имеет вид:

y = -7x - 3.