Как составить уравнение касательных к графику функции y=x^2-4x+5, проведенных в точках ее пересечения с прямой y=x+1?

Алгебра 11 класс Уравнения касательных к графику функции уравнение касательных график функции пересечение с прямой y=x^2-4x+5 y=x+1 алгебра 11 класс Новый

Чтобы составить уравнение касательных к графику функции y = x^2 - 4x + 5, проведенных в точках ее пересечения с прямой y = x + 1, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения функции и прямой.

Для этого мы приравняем функции:

x^2 - 4x + 5 = x + 1

Перепишем уравнение:

x^2 - 4x - x + 5 - 1 = 0

Упрощаем:

x^2 - 5x + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой для нахождения корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -5, c = 4.

Находим дискриминант:

D = (-5)^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9.

Теперь находим корни:

x1 = (5 + √9) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4,

x2 = (5 - √9) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1.

Таким образом, точки пересечения находятся при x = 4 и x = 1.

2. Найти соответствующие значения y для этих x.

Подставляем найденные значения x в уравнение функции:

Для x = 4:

y = 4^2 - 4 * 4 + 5 = 16 - 16 + 5 = 5.

Для x = 1:

y = 1^2 - 4 * 1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2.

Таким образом, точки пересечения: (4, 5) и (1, 2).

3. Найти производную функции для нахождения углового коэффициента касательной.

Находим производную функции:

y' = 2x - 4.

4. Вычислить угловые коэффициенты касательных в точках пересечения.

Для x = 4:

y'(4) = 2 * 4 - 4 = 8 - 4 = 4.

Для x = 1:

y'(1) = 2 * 1 - 4 = 2 - 4 = -2.

5. Составить уравнения касательных.

Уравнение касательной в точке (x0, y0) можно записать в виде:

y - y0 = m(x - x0), где m - угловой коэффициент.

Для точки (4, 5):

y - 5 = 4(x - 4),

что упрощается до:

y = 4x - 16 + 5 = 4x - 11.

Для точки (1, 2):

y - 2 = -2(x - 1),

что упрощается до:

y = -2x + 2 + 2 = -2x + 4.

Ответ: Уравнения касательных к графику функции y = x^2 - 4x + 5, проведенных в точках пересечения с прямой y = x + 1, будут:

• y = 4x - 11 (касательная в точке (4, 5)),
• y = -2x + 4 (касательная в точке (1, 2)).