Как вычислить объем и полную площадь поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований равны 8 и 4, а высота составляет 3?

Алгебра 11 класс Объем и площадь поверхности усеченного конуса объём усечённого конуса площадь поверхности усеченного конуса радиусы оснований высота усеченного конуса формулы усеченного конуса Новый

Для вычисления объема и полной площади поверхности усеченного конуса нам понадобятся следующие формулы:

• Объем усеченного конуса: V = (1/3) * π * h * (R^2 + R * r + r^2),
• Полная площадь поверхности усеченного конуса: S = π * (R + r) * l + π * R^2 + π * r^2,

Где:

• V - объем усеченного конуса,
• S - полная площадь поверхности,
• R - радиус большего основания,
• r - радиус меньшего основания,
• h - высота усеченного конуса,
• l - образующая (длина наклонной стороны),
• π - число Пи (примерно 3.14).

Дано:

• R = 8,
• r = 4,
• h = 3.

Шаг 1: Вычислим образующую (l).

Образующая усеченного конуса может быть найдена с помощью теоремы Пифагора:

l = √(h^2 + (R - r)^2).

Подставим значения:

l = √(3^2 + (8 - 4)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Шаг 2: Вычислим объем (V).

Теперь подставим значения в формулу объема:

V = (1/3) * π * 3 * (8^2 + 8 * 4 + 4^2).

Сначала вычислим выражение в скобках:

• 8^2 = 64,
• 8 * 4 = 32,
• 4^2 = 16.

Теперь сложим эти значения:

64 + 32 + 16 = 112.

Теперь подставим это в формулу объема:

V = (1/3) * π * 3 * 112 = π * 112 = 112π.

Шаг 3: Вычислим полную площадь поверхности (S).

Теперь подставим значения в формулу полной площади поверхности:

S = π * (8 + 4) * 5 + π * 8^2 + π * 4^2.

Сначала вычислим каждую часть:

• 8 + 4 = 12,
• π * 12 * 5 = 60π,
• π * 8^2 = 64π,
• π * 4^2 = 16π.

Теперь сложим все части:

S = 60π + 64π + 16π = 140π.

Итак, мы получили:

• Объем усеченного конуса: 112π,
• Полная площадь поверхности: 140π.