Чтобы вычислить производную выражения (sin(2α) + 3cos(2α))² + (cos(2α) - 3sin(2α))², следуем следующим шагам:

1. Обозначим функции:
   • f(α) = sin(2α) + 3cos(2α)
   • g(α) = cos(2α) - 3sin(2α)
2. Запишем выражение: f(α)² + g(α)²
3. Применим правило производной суммы: (u + v)' = u' + v'
   • Производная f(α)²: по правилу производной произведения (u²)' = 2u * u' получаем:
   • f'(α) = 2f(α) * f'(α)
   • Аналогично для g(α)²: (g(α)²)' = 2g(α) * g'(α)
4. Теперь найдем производные f'(α) и g'(α):
   • f'(α) = (sin(2α))' + 3(cos(2α))' = 2cos(2α) - 6sin(2α)
   • g'(α) = (cos(2α))' - 3(sin(2α))' = -2sin(2α) - 6cos(2α)
5. Теперь подставим все в производную:
   • (f(α)² + g(α)²)' = 2f(α)f'(α) + 2g(α)g'(α)
6. Теперь подставим значения f(α), g(α), f'(α) и g'(α):
   • f(α) = sin(2α) + 3cos(2α)
   • g(α) = cos(2α) - 3sin(2α)
   • f'(α) = 2cos(2α) - 6sin(2α)
   • g'(α) = -2sin(2α) - 6cos(2α)
7. Теперь подставим в производную:
   • (f(α)² + g(α)²)' = 2(sin(2α) + 3cos(2α))(2cos(2α) - 6sin(2α)) + 2(cos(2α) - 3sin(2α))(-2sin(2α) - 6cos(2α))
8. Упрощаем выражение:
   • При подстановке и упрощении мы получаем, что итоговое значение равно 10.

Таким образом, производная данного выражения равна 10.