Как записать комплексное число z в тригонометрической форме и определить его главный аргумент?

1. z=1+i
2. z=1−i

Алгебра 11 класс Тригонометрическая форма комплексного числа комплексное число тригонометрическая форма главный аргумент алгебра 11 класс запись комплексного числа Новый

Чтобы записать комплексное число z в тригонометрической форме, нам нужно определить его модуль и аргумент. Рассмотрим два случая: z = 1 + i и z = 1 - i.

1. Для z = 1 + i:

• Модуль: Модуль комплексного числа z = a + bi вычисляется по формуле:
• |z| = √(a² + b²), где a = 1, b = 1.
• |z| = √(1² + 1²) = √(1 + 1) = √2.
• Аргумент: Аргумент определяется по формуле:
• arg(z) = arctan(b/a), где a = 1, b = 1.
• arg(z) = arctan(1/1) = arctan(1) = π/4 (45 градусов).
• Тригонометрическая форма: Теперь мы можем записать z в тригонометрической форме:
• z = r(cos(φ) + i sin(φ)), где r = |z| и φ = arg(z).
• z = √2 (cos(π/4) + i sin(π/4)).

2. Для z = 1 - i:

• Модуль: Модуль этого комплексного числа также вычисляется по той же формуле:
• |z| = √(a² + b²), где a = 1, b = -1.
• |z| = √(1² + (-1)²) = √(1 + 1) = √2.
• Аргумент: Теперь найдем аргумент:
• arg(z) = arctan(b/a) = arctan(-1/1) = arctan(-1).
• Это значение находится в четвертом квадранте, поэтому arg(z) = -π/4 (или 7π/4, если использовать положительное значение).
• Тригонометрическая форма: Записываем z в тригонометрической форме:
• z = r(cos(φ) + i sin(φ)), где r = |z| и φ = arg(z).
• z = √2 (cos(-π/4) + i sin(-π/4)).

Таким образом, тригонометрические формы комплексных чисел:

• z = 1 + i: z = √2 (cos(π/4) + i sin(π/4)); главный аргумент arg(z) = π/4.
• z = 1 - i: z = √2 (cos(-π/4) + i sin(-π/4)); главный аргумент arg(z) = -π/4.