Какое количество членов арифметической прогрессии можно определить, если а3 - а1 = 12; а2 + а4 = 18; Sn = 105?

Кроме того, какова сумма бесконечно убывающей прогрессии 49; 7; 1/7; ...?

Алгебра 11 класс Арифметическая и геометрическая прогрессии аритметическая прогрессия количество членов сумма прогрессии убывающая прогрессия а3 - а1 а2 + а4 Sn 105 49 7 1/7 Новый

Чтобы решить первую часть задачи, нам нужно использовать свойства арифметической прогрессии (АП).

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя последовательными членами постоянна и обозначается как d. Обозначим первый член прогрессии как a1, второй как a2 и третий как a3. Тогда мы можем записать:

• a2 = a1 + d
• a3 = a1 + 2d

По условию задачи у нас есть два уравнения:

1. a3 - a1 = 12
2. a2 + a4 = 18

Подставим выражения для a3 и a2:

• (a1 + 2d) - a1 = 12, что упрощается до 2d = 12, следовательно, d = 6.

Теперь подставим значение d в уравнение для a2 и a4:

• a2 = a1 + d = a1 + 6
• a4 = a1 + 3d = a1 + 18

Теперь подставим a2 и a4 в уравнение a2 + a4 = 18:

• (a1 + 6) + (a1 + 18) = 18

Упростим это уравнение:

• 2a1 + 24 = 18
• 2a1 = 18 - 24
• 2a1 = -6
• a1 = -3.

Теперь мы можем найти все члены прогрессии:

• a1 = -3
• a2 = a1 + 6 = -3 + 6 = 3
• a3 = a1 + 12 = -3 + 12 = 9
• a4 = a1 + 18 = -3 + 18 = 15

Сумма первых n членов арифметической прогрессии определяется формулой:

Sn = n/2 * (a1 + an), где an - n-й член прогрессии.

Также, мы знаем, что Sn = 105. Подставим a1 и an:

• Sn = n/2 * (-3 + (-3 + (n-1)*6)) = n/2 * (-3 + (-3 + 6n - 6)) = n/2 * (6n - 12)

Упростим это:

• Sn = n/2 * 6(n - 2) = 3n(n - 2).

Теперь приравняем это к 105:

• 3n(n - 2) = 105
• n(n - 2) = 35.

Решим это уравнение:

• n^2 - 2n - 35 = 0.

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения, используя дискриминант:

• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*(-35) = 4 + 140 = 144.
• Корни: n = (2 ± √144) / 2 = (2 ± 12) / 2.

Таким образом, n1 = 7 и n2 = -5. Поскольку количество членов не может быть отрицательным, мы принимаем n = 7.

Теперь перейдем ко второй части задачи о сумме бесконечно убывающей прогрессии 49, 7, 1/7, ...

Это геометрическая прогрессия, где первый член a = 49, а общий множитель q = 1/7 (так как 7/49 = 1/7).

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S = a / (1 - q), где |q| < 1.

Подставим значения:

• S = 49 / (1 - 1/7) = 49 / (6/7) = 49 * (7/6) = 49 * 7 / 6 = 343 / 6.

Таким образом, сумма бесконечно убывающей прогрессии равна 343/6.

Итак, мы определили, что количество членов арифметической прогрессии равно 7, а сумма бесконечно убывающей прогрессии составляет 343/6.