Чтобы найти наименьшее значение функции f(f(f(x))), начнем с определения функции f(x).

Функция f(x) = x^2 + 12x + 34 является квадратичной. Мы можем найти её наименьшее значение, используя метод нахождения вершины параболы.

Формула для нахождения координаты вершины параболы, заданной уравнением ax^2 + bx + c, выглядит следующим образом:

• Координата x вершины: x = -b/(2a)

В нашем случае a = 1, b = 12, c = 34. Подставим значения в формулу:

• x = -12/(2 * 1) = -6

Теперь подставим найденное значение x = -6 в функцию f(x), чтобы найти наименьшее значение:

• f(-6) = (-6)^2 + 12*(-6) + 34
• f(-6) = 36 - 72 + 34
• f(-6) = -2

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) равно -2.

Теперь мы можем подставить это значение в функцию f для нахождения f(f(x)). Мы знаем, что f(x) принимает наименьшее значение -2, следовательно:

• f(f(-2)) = f(-2)

Теперь найдем f(-2):

• f(-2) = (-2)^2 + 12*(-2) + 34
• f(-2) = 4 - 24 + 34
• f(-2) = 14

Теперь мы знаем, что f(f(x)) может принимать значение 14 в случае, если f(x) = -2.

Теперь найдем f(f(f(x))):

• f(f(f(-2))) = f(14)

Теперь найдем f(14):

• f(14) = (14)^2 + 12*(14) + 34
• f(14) = 196 + 168 + 34
• f(14) = 398

Таким образом, наименьшее значение функции f(f(f(x))) равно 398.

Ответ: 398.