Какое отрицательное значение a делает уравнение x^3 - 3x^2 - a = 0 таким, чтобы у него было ровно два корня?

Алгебра 11 класс Уравнения третьей степени уравнение x^3 - 3x^2 - a = 0 отрицательное значение a два корня уравнения алгебра 11 класс решение уравнений корни кубического уравнения Новый

Для того чтобы уравнение x^3 - 3x^2 - a = 0 имело ровно два корня, один из корней должен быть кратным (то есть один корень должен иметь кратность 2), а другой корень - простой. Это происходит, когда производная уравнения имеет общий корень с самим уравнением.

Шаги решения:

1. Найти производную уравнения:
   • Уравнение имеет вид f(x) = x^3 - 3x^2 - a.
   • Находим производную: f'(x) = 3x^2 - 6x.
2. Найти критические точки:
   • Приравниваем производную к нулю: 3x^2 - 6x = 0.
   • Факторизуем: 3x(x - 2) = 0.
   • Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 2.
3. Определить значение a:
   • Теперь подставим критические точки в исходное уравнение, чтобы найти значение a.
   • Подставляем x = 0: f(0) = 0^3 - 3*0^2 - a = -a. Значит, f(0) = 0 при a = 0.
   • Подставляем x = 2: f(2) = 2^3 - 3*2^2 - a = 8 - 12 - a = -4 - a. Значит, f(2) = 0 при a = -4.
4. Вывод:
   • Чтобы уравнение имело ровно два корня, необходимо, чтобы a = -4.

Таким образом, отрицательное значение a, при котором уравнение x^3 - 3x^2 - a = 0 имеет ровно два корня, равно -4.