Какое уравнение касательной к графику функции y=x^2*e^(-x) можно составить в точке x_0 =1?

Алгебра 11 класс Уравнения касательных и производные функций Уравнение касательной график функции y=x^2*e^(-x) точка x_0=1 алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим функцию y = x^2 * e^(-x) и найдем касательную в точке x_0 = 1.

1. Найдем значение функции в точке x_0 = 1:
   • Подставим x = 1 в функцию:
   • y(1) = 1^2 * e^(-1) = 1 * (1/e) = 1/e.
2. Найдем производную функции:
   • Используем правило произведения для нахождения производной:
   • y' = (x^2)' * e^(-x) + x^2 * (e^(-x))'.
   • Производная x^2 равна 2x, а производная e^(-x) равна -e^(-x).
   • Таким образом, получаем:
   • y' = 2x * e^(-x) + x^2 * (-e^(-x)) = e^(-x) * (2x - x^2).
3. Найдем значение производной в точке x_0 = 1:
   • Подставим x = 1 в производную:
   • y'(1) = e^(-1) * (2 * 1 - 1^2) = e^(-1) * (2 - 1) = e^(-1).
4. Составим уравнение касательной:
   • Уравнение касательной имеет вид: y - y_0 = m(x - x_0), где m - наклон (производная в точке), (x_0, y_0) - координаты точки касания.
   • Подставим найденные значения:
   • y - 1/e = e^(-1)(x - 1).
   • Упростим уравнение:
   • y - 1/e = (1/e)(x - 1).
   • y = (1/e)(x - 1) + 1/e.
   • y = (1/e)x - (1/e) + (1/e) = (1/e)x.

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^2 * e^(-x) в точке x_0 = 1 будет:

y = (1/e)x.