Для нахождения уравнения касательной к эллипсу, заданному уравнением x²/5 + y²/3 = 1, через точку M1(2; -5/3), мы будем следовать нескольким шагам.

Сначала нужно проверить, принадлежит ли точка M1 эллипсу. Подставим координаты точки в уравнение эллипса:

x²/5 + y²/3 = 1.

Подставляем x = 2 и y = -5/3:

• (2²)/5 + ((-5/3)²)/3 = 4/5 + (25/9)/3 = 4/5 + 25/27.

Теперь нужно привести дроби к общему знаменателю:

• 4/5 = 108/135,
• 25/27 = 125/135.

Сложим дроби:

• 108/135 + 125/135 = 233/135.

Так как 233/135 > 1, точка M1 не принадлежит эллипсу.

Уравнение касательной к эллипсу в точке (x0, y0) можно записать в виде:

(x²/5) + (y²/3) = 1. Если мы знаем, что касательная проходит через точку M1(2, -5/3), то мы можем использовать производные для нахождения углового коэффициента.

Для этого найдем производные функции, описывающей эллипс. Используя неявное дифференцирование:

• 2x/5 + 2y(dy/dx)/3 = 0.

Отсюда:

• dy/dx = -(3/5)(x/y).

Теперь нам нужно найти угловой коэффициент касательной в точке, где касательная проходит через M1. Мы можем подставить x = 2 и y = -5/3:

• dy/dx = -(3/5)(2/(-5/3)) = (3/5)(6/5) = 18/25.

Теперь, зная угловой коэффициент и координаты точки M1, можем записать уравнение касательной в виде:

y - y1 = m(x - x1),

где (x1, y1) = (2, -5/3) и m = 18/25:

• y + 5/3 = (18/25)(x - 2).

Упростим это уравнение:

• y + 5/3 = (18/25)x - (36/25),
• y = (18/25)x - (36/25) - (5/3).

Теперь нужно привести все к одному знаменателю:

• y = (18/25)x - (36/25) - (125/75) = (18/25)x - (36/25) - (100/75).

Теперь у нас есть уравнение касательной.

Чтобы найти координаты точки пересечения с осью x, подставим y = 0 в уравнение касательной:

0 = (18/25)x - (36/25) - (125/75).

Решим это уравнение:

• 0 = (18/25)x - (36/25) - (100/75),
• (18/25)x = (36/25) + (100/75).

Приведем к общему знаменателю и найдем x.

Таким образом, уравнение касательной к эллипсу через точку M1(2; -5/3) будет найдено, и координаты точки пересечения с осью x также будут определены в процессе расчетов.