Для нахождения значения выражения 20 cos(α + π/4), начнем с того, что у нас есть информация о sin 2α. Мы знаем, что sin 2α = 7/25 и 2α находится в интервале (π/2; π).

Шаг 1: Найдем cos 2α.

Используем основное тригонометрическое тождество:

• sin²(2α) + cos²(2α) = 1.

Подставим значение sin 2α:

• sin²(2α) = (7/25)² = 49/625.
• cos²(2α) = 1 - sin²(2α) = 1 - 49/625 = 576/625.

Теперь найдем cos 2α:

• cos 2α = √(576/625) = 24/25.

Поскольку 2α находится в интервале (π/2; π), cos 2α будет отрицательным:

• cos 2α = -24/25.

Шаг 2: Найдем sin α и cos α.

Используем формулы для sin и cos двойного угла:

• sin 2α = 2 sin α cos α.
• cos 2α = cos² α - sin² α.

Из первого уравнения мы можем выразить sin α cos α:

• 2 sin α cos α = 7/25.
• sin α cos α = 7/50.

Теперь подставим значение cos 2α в второе уравнение:

• cos² α - sin² α = -24/25.

Теперь выразим sin² α через cos² α:

• sin² α = 1 - cos² α.

Подставляя это значение, получаем:

• cos² α - (1 - cos² α) = -24/25.
• 2cos² α - 1 = -24/25.
• 2cos² α = -24/25 + 25/25 = 1/25.
• cos² α = 1/50.

Следовательно:

• cos α = ±√(1/50) = ±1/√50 = ±√2/10.

Так как 2α находится в интервале (π/2; π), α находится в интервале (π/4; π/2), и cos α будет положительным:

• cos α = √2/10.

Теперь найдем sin α:

• sin² α = 1 - cos² α = 1 - 1/50 = 49/50.
• sin α = √(49/50) = 7/√50 = 7√2/10.

Шаг 3: Найдем значение выражения 20 cos(α + π/4).

Используем формулу для cos(α + β):

• cos(α + π/4) = cos α cos(π/4) - sin α sin(π/4).

Так как cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2, подставим наши значения:

• cos(α + π/4) = (√2/10)(√2/2) - (7√2/10)(√2/2).
• cos(α + π/4) = (2/20) - (7*2/20) = 2/20 - 14/20 = -12/20 = -3/5.

Теперь подставим это значение в выражение:

• 20 cos(α + π/4) = 20 * (-3/5) = -12.

Ответ: Значение выражения 20 cos(α + π/4) равно -12.