Какое значение принимает функция f(x)=x^3+2.5x^2-2x в той точке, где она достигает максимума?

Алгебра 11 класс Производные и экстремумы функций значение функции f(x) максимум алгебра 11 класс график функции производная функции нахождение максимума Новый

Чтобы найти значение функции f(x) = x^3 + 2.5x^2 - 2x в точке, где она достигает максимума, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдём производную функции:

   Производная функции f(x) будет равна:

   f'(x) = 3x^2 + 5x - 2.

2. Найдём критические точки:

   Для этого приравняем производную к нулю:

   3x^2 + 5x - 2 = 0.

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49.

   Так как D > 0, у нас есть два различных корня:

   x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-5 + 7) / 6 = 1/3.

   x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-5 - 7) / 6 = -2.

3. Определим, где находится максимум:

   Для этого используем вторую производную:

   f''(x) = 6x + 5.

   Теперь подставим наши критические точки:

   • Для x = 1/3: f''(1/3) = 6*(1/3) + 5 = 2 + 5 = 7 (положительное значение, значит минимум).
   • Для x = -2: f''(-2) = 6*(-2) + 5 = -12 + 5 = -7 (отрицательное значение, значит максимум).
4. Теперь найдём значение функции в точке максимума:

   Подставим x = -2 в исходную функцию:

   f(-2) = (-2)^3 + 2.5*(-2)^2 - 2*(-2).

   Это будет равно:

   f(-2) = -8 + 2.5*4 + 4 = -8 + 10 + 4 = 6.

Ответ: Значение функции f(x) в точке, где она достигает максимума, равно 6.