Чтобы определить ранг матрицы, нам нужно привести её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк в этом виде.

Дана матрица:

(5, -2, -3; -1, 1, 0; 4, -1, 3)

Мы можем записать её в виде:

• Строка 1: (5, -2, -3)
• Строка 2: (-1, 1, 0)
• Строка 3: (4, -1, 3)

Теперь начнем с первой строки и будем преобразовывать остальные строки. Для удобства, давайте начнем с первой строки и будем использовать её для обнуления элементов под ней.

1. Умножим первую строку на 1/5, чтобы сделать первый элемент равным 1:
• Строка 1: (1, -2/5, -3/5)
2. Теперь обнулим первый элемент во второй строке. Для этого добавим к строке 2 (1/5) * строку 1:
• Строка 2: (-1 + 1/5 * 5, 1 + 1/5 * (-2), 0 + 1/5 * (-3)) = (0, 3/5, 3/5)
3. Теперь обнулим первый элемент в третьей строке. Для этого добавим к строке 3 (-4/5) * строку 1:
• Строка 3: (4 - 4/5 * 5, -1 + (-4/5) * (-2), 3 + (-4/5) * (-3)) = (0, 3/5, 27/5)

Теперь у нас есть:

(1, -2/5, -3/5; 0, 3/5, 3/5; 0, 3/5, 27/5)

Теперь мы можем продолжать. Упростим строки 2 и 3. Умножим строку 2 на 5/3:

• Строка 2: (0, 1, 1)

Теперь обнулим второй элемент в третьей строке. Для этого вычтем строку 2 из строки 3:

• Строка 3: (0, 3/5 - 1, 27/5 - 1) = (0, 0, 22/5)

Теперь у нас есть:

(1, -2/5, -3/5; 0, 1, 1; 0, 0, 22/5)

Теперь мы видим, что у нас 3 ненулевые строки. Следовательно, ранг данной матрицы равен 3.

Ответ: ранг равен 3.