2025-10-29 14:52:20
Какова сумма:
∑ (от k=0 до 2025) (2025! (-1)^k 2^k) / (k! (2025-k)!)?
Алгебра 11 класс Суммы и произведения сумма алгебра 11 класс математические выражения факториалы комбинаторика последовательности пределы задачи на сумму Новый
2025-10-29 14:52:32
Чтобы найти сумму, указанную в вашем вопросе, давайте сначала разберем выражение, которое мы суммируем:
Сумма имеет следующий вид:
∑ (от k=0 до 2025) (2025! (-1)^k 2^k) / (k! (2025-k)!)
Это выражение можно упростить, используя формулу биномиального коэффициента. Обратите внимание, что:
2025! / (k! (2025 - k)!) = C(2025, k),
где C(2025, k) - это биномиальный коэффициент, который равен количеству способов выбрать k элементов из 2025.
Таким образом, мы можем переписать сумму:
∑ (от k=0 до 2025) C(2025, k) (-1)^k 2^k.
Теперь мы можем использовать теорему биномиального разложения, которая гласит, что:
(a + b)^n = ∑ (от k=0 до n) C(n, k) a^k b^(n-k).
В нашем случае мы можем взять a = -2 и b = 1, а n = 2025. Тогда мы получаем:
(-2 + 1)^(2025) = (-1)^(2025) = -1.
Теперь подставим это в нашу сумму:
∑ (от k=0 до 2025) C(2025, k) (-1)^k 2^k = (-1)^(2025) = -1.
Таким образом, итоговая сумма равна:
-1