Чтобы найти сумму решений уравнения |x² - 4x + 5| = |x² - 2x - 1|, начнем с анализа обеих частей уравнения.

1. Рассмотрим два выражения:

• f(x) = x² - 4x + 5
• g(x) = x² - 2x - 1

2. Найдем точки, в которых f(x) = g(x):

Для этого приравняем выражения:

x² - 4x + 5 = x² - 2x - 1

3. Упростим уравнение:

• Сократим x² с обеих сторон:
• -4x + 5 = -2x - 1
• Переносим все члены в одну сторону:
• -4x + 2x + 5 + 1 = 0
• -2x + 6 = 0
• 2x = 6
• x = 3

Теперь у нас есть одна точка x = 3, в которой f(x) и g(x) равны. Это точка, в которой могут происходить изменения в знаках модулей.

4. Теперь определим, в каких интервалах будут равны модули:

• Для x < 3: f(x) > g(x)
• Для x = 3: f(x) = g(x)
• Для x > 3: f(x) < g(x)

5. Теперь решим два случая для уравнения:

Случай 1: x < 3

Тогда уравнение будет выглядеть так:

-(x² - 4x + 5) = -(x² - 2x - 1

Упрощаем:

• -x² + 4x - 5 = -x² + 2x + 1
• 4x - 5 = 2x + 1
• 4x - 2x - 5 - 1 = 0
• 2x - 6 = 0
• x = 3

Случай 2: x > 3

Тогда уравнение будет:

x² - 4x + 5 = x² - 2x - 1

Упрощаем:

• -4x + 5 = -2x - 1
• -4x + 2x + 5 + 1 = 0
• -2x + 6 = 0
• x = 3

Как видно, в обоих случаях мы получаем одно и то же значение x = 3.

6. Теперь найдем точки, где f(x) и g(x) равны нулю:

f(x) = 0:

• x² - 4x + 5 = 0
• D = (-4)² - 4*1*5 = 16 - 20 = -4 (нет действительных корней)

g(x) = 0:

• x² - 2x - 1 = 0
• D = (-2)² - 4*1*(-1) = 4 + 4 = 8
• x₁ = (2 + √8)/2 = 1 + √2
• x₂ = (2 - √8)/2 = 1 - √2

7. Теперь у нас есть три решения:

• x₁ = 3
• x₂ = 1 + √2
• x₃ = 1 - √2

8. Сумма решений:

Суммируем:

• 3 + (1 + √2) + (1 - √2) = 3 + 1 + 1 = 5

Ответ: Сумма решений x₁, x₂ и x₃ равна 5.