2025-10-29 04:09:50
Какова сумма выражения $$\sum_{K=0}^{m} \binom{m}{K} x^{K}$$?
Алгебра 11 класс Комбинаторика и биномиальные коэффициенты сумма выражения алгебра биномиальные коэффициенты сумма биномиальных коэффициентов M x k Новый
2025-10-29 04:10:00
Чтобы найти сумму выражения $$\sum_{K=0}^{m} \binom{m}{K} x^{K}$$, давайте разберемся, что оно означает и как его можно упростить.
Выражение $$\binom{m}{K}$$ представляет собой биномиальный коэффициент, который показывает, сколько существует способов выбрать K элементов из m. Сумма всех биномиальных коэффициентов для фиксированного m равна 2 в степени m, если мы подставим x = 1.
Теперь давайте посмотрим на сумму с переменной x:
- Сначала мы можем воспользоваться биномиальной теоремой, которая гласит, что:
- $$ (1 + x)^m = \sum_{K=0}^{m} \binom{m}{K} x^{K} $$.
- Это равенство показывает, что сумма биномиальных коэффициентов, умноженных на x в степени K, равна (1 + x) в степени m.
- Следовательно, мы можем записать:
- $$ \sum_{K=0}^{m} \binom{m}{K} x^{K} = (1 + x)^m $$.
Таким образом, сумма выражения $$\sum_{K=0}^{m} \binom{m}{K} x^{K}$$ равна $$ (1 + x)^m $$.