Чтобы найти точку максимума функции f(x) = x³ - 2x², нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Найдем производную функции. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования. Производная функции f(x) будет:
• f'(x) = 3x² - 4x.
2. Найдем критические точки. Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Установим производную равной нулю:
• 3x² - 4x = 0.
• Выносим x за скобки: x(3x - 4) = 0.
• Теперь у нас есть два решения: x = 0 и 3x - 4 = 0, что дает x = 4/3.
3. Определим, является ли каждая критическая точка максимумом или минимумом. Для этого воспользуемся второй производной:
• Найдем вторую производную: f''(x) = 6x - 4.
• Теперь подставим критические точки в f''(x):
• f''(0) = 6(0) - 4 = -4 (меньше 0, значит, x = 0 - это максимум).
• f''(4/3) = 6(4/3) - 4 = 8 - 4 = 4 (больше 0, значит, x = 4/3 - это минимум).
4. Найдем значение функции в точке максимума. Теперь мы знаем, что максимум находится в точке x = 0. Подставим это значение в исходную функцию:
• f(0) = 0³ - 2(0)² = 0.

Таким образом, точка максимума функции f(x) = x³ - 2x² находится в координатах (0, 0).