Чтобы найти точную нижнюю грань числовой последовательности a_n = (2 - 5n) / (3n + 1), давайте проанализируем поведение этой последовательности при увеличении n.

1. **Рассмотрим предел последовательности при n стремящемся к бесконечности.** Для этого мы можем разделить числитель и знаменатель на n:

a_n = (2/n - 5) / (3 + 1/n).

2. **Теперь определим предел.** При n стремящемся к бесконечности, 2/n стремится к 0, а 1/n также стремится к 0. Поэтому предел будет:

lim (n -> ∞) a_n = (0 - 5) / (3 + 0) = -5/3.

3. **Теперь найдем, как ведет себя последовательность при меньших значениях n.** Мы можем подставить некоторые значения n, чтобы увидеть, как a_n изменяется:

• Для n = 1: a_1 = (2 - 5*1) / (3*1 + 1) = (2 - 5) / (3 + 1) = -3/4.
• Для n = 2: a_2 = (2 - 5*2) / (3*2 + 1) = (2 - 10) / (6 + 1) = -8/7.
• Для n = 3: a_3 = (2 - 5*3) / (3*3 + 1) = (2 - 15) / (9 + 1) = -13/10.

4. **Сравним найденные значения с пределом.** Мы видим, что последовательность убывает и стремится к -5/3, но никогда не достигает этого значения, так как для всех n a_n остается больше -5/3.

5. **Теперь определим нижнюю грань.** Поскольку последовательность убывает и стремится к -5/3, а также не достигает этого значения, мы можем утверждать, что точная нижняя грань данной последовательности равна -5/3.

Таким образом, ответ на вопрос о точной нижней грани числовой последовательности a_n = (2 - 5n) / (3n + 1) будет: