Каково произведение всех целых решений неравенства x⁴ - 10x² + 9 меньше или равно 0?

Алгебра 11 класс Неравенства неравенство целые решения произведение алгебра 11 класс x⁴ - 10x² + 9 математические задачи Новый

Чтобы найти произведение всех целых решений неравенства x⁴ - 10x² + 9 ≤ 0, начнем с решения соответствующего уравнения:

Шаг 1: Решение уравнения x⁴ - 10x² + 9 = 0

Для удобства, сделаем замену переменной: пусть y = x². Тогда уравнение преобразуется в:

y² - 10y + 9 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-10)² - 4 * 1 * 9 = 100 - 36 = 64

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:

y₁ = (10 + √64) / 2 = (10 + 8) / 2 = 9

y₂ = (10 - √64) / 2 = (10 - 8) / 2 = 1

Теперь вернемся к переменной x:

x² = 9 → x = ±3

x² = 1 → x = ±1

Таким образом, у нас есть четыре корня: x = -3, -1, 1, 3.

Шаг 2: Определение интервалов

Теперь мы должны определить, на каких интервалах неравенство x⁴ - 10x² + 9 ≤ 0 выполняется. Для этого рассмотрим знаки выражения на интервалах, разделенных найденными корнями:

• (-∞, -3)
• (-3, -1)
• (-1, 1)
• (1, 3)
• (3, +∞)

Теперь проверим знак на каждом интервале:

1. Для x < -3, например, x = -4:
   • (-4)⁴ - 10(-4)² + 9 = 256 - 160 + 9 = 105 > 0
2. Для -3 < x < -1, например, x = -2:
   • (-2)⁴ - 10(-2)² + 9 = 16 - 40 + 9 = -15 < 0
3. Для -1 < x < 1, например, x = 0:
   • 0⁴ - 10(0)² + 9 = 9 > 0
4. Для 1 < x < 3, например, x = 2:
   • (2)⁴ - 10(2)² + 9 = 16 - 40 + 9 = -15 < 0
5. Для x > 3, например, x = 4:
   • (4)⁴ - 10(4)² + 9 = 256 - 160 + 9 = 105 > 0

Шаг 3: Итоговые интервалы

Мы видим, что неравенство x⁴ - 10x² + 9 ≤ 0 выполняется на интервалах:

• [-3, -1]
• [1, 3]

Шаг 4: Целые решения

Теперь найдем все целые решения в этих интервалах:

• Из интервала [-3, -1] целые решения: -3, -2, -1
• Из интервала [1, 3] целые решения: 1, 2, 3

Таким образом, все целые решения: -3, -2, -1, 1, 2, 3.

Шаг 5: Произведение целых решений

Теперь найдем произведение этих целых решений:

Произведение = (-3) * (-2) * (-1) * 1 * 2 * 3

Сначала произведем отрицательные числа:

• (-3) * (-2) * (-1) = -6

Теперь произведем положительные:

• 1 * 2 * 3 = 6

Теперь перемножим результаты:

-6 * 6 = -36

Ответ: Произведение всех целых решений неравенства x⁴ - 10x² + 9 ≤ 0 равно -36.