Каковы сумма, произведение и частное комплексных чисел z1 = 5 – 3i и z2 = 3 + 6i?

Алгебра 11 класс Комплексные числа сумма комплексных чисел произведение комплексных чисел частное комплексных чисел z1 = 5 – 3i z2 = 3 + 6i алгебра 11 класс вычисление комплексных чисел Новый

Давайте найдем сумму, произведение и частное комплексных чисел z1 = 5 - 3i и z2 = 3 + 6i. Мы будем выполнять каждую операцию поэтапно.

1. Сумма комплексных чисел:

Сумма двух комплексных чисел z1 и z2 вычисляется по формуле:

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

где a и b - действительная и мнимая части z1, а c и d - действительная и мнимая части z2.

Применим это к нашим числам:

• a = 5, b = -3
• c = 3, d = 6

Теперь подставим значения:

• Сумма действительных частей: 5 + 3 = 8
• Сумма мнимых частей: -3 + 6 = 3

Таким образом, сумма z1 и z2 равна:

z1 + z2 = 8 + 3i

2. Произведение комплексных чисел:

Произведение двух комплексных чисел z1 и z2 вычисляется по формуле:

z1 * z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Теперь подставим наши значения:

• a = 5, b = -3
• c = 3, d = 6

Теперь посчитаем:

• Произведение действительных частей: 5 * 3 = 15
• Произведение мнимых частей: -3 * 6 = -18
• Сумма произведений: 5 * 6 + (-3) * 3 = 30 - 9 = 21

Таким образом, произведение z1 и z2 равно:

z1 * z2 = (15 - (-18)) + (21)i = 15 + 21i

3. Частное комплексных чисел:

Чтобы найти частное z1 и z2, мы используем формулу:

z1 / z2 = (a + bi) / (c + di) = [(a * c + b * d) / (c^2 + d^2)] + [(b * c - a * d) / (c^2 + d^2)]i

Теперь подставим значения:

• a = 5, b = -3
• c = 3, d = 6

Сначала найдем c^2 + d^2:

• c^2 = 3^2 = 9
• d^2 = 6^2 = 36
• c^2 + d^2 = 9 + 36 = 45

Теперь подставим в формулу:

• Действительная часть: (5 * 3 + (-3) * 6) / 45 = (15 - 18) / 45 = -3 / 45 = -1 / 15
• Мнимая часть: ((-3) * 3 - 5 * 6) / 45 = (-9 - 30) / 45 = -39 / 45 = -13 / 15

Таким образом, частное z1 и z2 равно:

z1 / z2 = (-1/15) + (-13/15)i

Итак, результаты:

• Сумма: 8 + 3i
• Произведение: 15 + 21i
• Частное: -1/15 - 13/15i