Давайте разберем каждое из предложенных выражений и найдем коэффициент перед x^2 после преобразования их в многочлен стандартного вида.
а) (2x+3)(x^2-2x-1)+2x(x+3)
1. Сначала раскроим скобки в первом произведении:
- (2x)(x^2) = 2x^3
- (2x)(-2x) = -4x^2
- (2x)(-1) = -2x
- (3)(x^2) = 3x^2
- (3)(-2x) = -6x
- (3)(-1) = -3
Объединим все это:
2x^3 + (-4x^2 + 3x^2) + (-2x - 6x) - 3 = 2x^3 - x^2 - 8x - 3
2. Теперь раскроим скобки во втором произведении:
- 2x(x) = 2x^2
- 2x(3) = 6x
Получаем: 2x^2 + 6x.
3. Теперь сложим оба результата:
(2x^3 - x^2 - 8x - 3) + (2x^2 + 6x) = 2x^3 + (2x^2 - x^2) + (-8x + 6x) - 3 = 2x^3 + x^2 - 2x - 3.
4. Коэффициент перед x^2 равен 1.
б) (x^2-x-1)(x^2+x+1)-(x-3)(x^3+2x^2-3x-2)
1. Раскроим скобки в первом произведении:
- (x^2)(x^2) = x^4
- (x^2)(x) = x^3
- (x^2)(1) = x^2
- (-x)(x^2) = -x^3
- (-x)(x) = -x^2
- (-x)(1) = -x
- (-1)(x^2) = -x^2
- (-1)(x) = -x
- (-1)(1) = -1
Объединим все это:
x^4 + (x^3 - x^3) + (x^2 - x^2 - x^2) + (-x - x) - 1 = x^4 - x^2 - 2x - 1.
2. Теперь раскроим скобки во втором произведении:
- (x)(x^3) = x^4
- (x)(2x^2) = 2x^3
- (x)(-3x) = -3x^2
- (x)(-2) = -2x
- (-3)(x^3) = -3x^3
- (-3)(2x^2) = -6x^2
- (-3)(-3x) = 9x
- (-3)(-2) = 6
Объединим все это:
x^4 + (2x^3 - 3x^3) + (-3x^2 - 6x^2) + (-2x + 9x) + 6 = x^4 - x^3 - 9x^2 + 7x + 6.
3. Теперь вычтем второй результат из первого:
(x^4 - x^2 - 2x - 1) - (x^4 - x^3 - 9x^2 + 7x + 6) = 0 + x^3 + (9x^2 - x^2) + (-2x - 7x) - 1 - 6 = x^3 + 8x^2 - 9x - 7.
4. Коэффициент перед x^2 равен 8.
в) (2x^3+3x^2-17x+1)(x^2+x-1)+(4x^4+3x^3+2x^2+x+1)(3-x)
1. Раскроим скобки в первом произведении:
- (2x^3)(x^2) = 2x^5
- (2x^3)(x) = 2x^4
- (2x^3)(-1) = -2x^3
- (3x^2)(x^2) = 3x^4
- (3x^2)(x) = 3x^3
- (3x^2)(-1) = -3x^2
- (-17x)(x^2) = -17x^3
- (-17x)(x) = -17x^2
- (-17x)(-1) = 17x
- (1)(x^2) = x^2
- (1)(x) = x
- (1)(-1) = -1
Объединим все это:
2x^5 + (2x^4 + 3x^4) + (-2x^3 + 3x^3 - 17x^3) + (-3x^2 - 17x^2 + x^2) + (17x + x) - 1 = 2x^5 + 5x^4 - 16x^3 - 19x^2 + 18x - 1.
2. Теперь раскроим скобки во втором произведении:
- (4x^4)(3) = 12x^4
- (4x^4)(-x) = -4x^5
- (3x^3)(3) = 9x^3
- (3x^3)(-x) = -3x^4
- (2x^2)(3) = 6x^2
- (2x^2)(-x) = -2x^3
- (x)(3) = 3x
- (x)(-x) = -x^2
- (1)(3) = 3
- (1)(-x) = -x
Объединим все это:
(-4x^5 + 12x^4 - 3x^4) + (9x^3 - 2x^3) + (6x^2 - x^2) + (3 - x) = -4x^5 + 9x^4 + 7x^3 + 5x^2 + 2.
3. Теперь сложим оба результата:
(2x^5 + 5x^4 - 16x^3 - 19x^2 + 18x - 1) + (-4x^5 + 9x^4 + 7x^3 + 5x^2 + 2) = (-2x^5 + 14x^4 - 9x^3 - 14x^2 + 18x + 1).
4. Коэффициент перед x^2 равен -14.
г) (5x^2+5x+3/x)(-x^3-x)+2x^2(x^{2009}+x^{2008}+x^{2007}+...+x^2+x+1)
1. Раскроим скобки в первом произведении:
- (5x^2)(-x^3) = -5x^5
- (5x^2)(-x) = -5x^3
- (5x)(-x^3) = -5x^4
- (5x)(-x) = -5x^2
- (3/x)(-x^3) = -3x^2
- (3/x)(-x) = -3x
Объединим все это:
-5x^5 - 5x^4 - 5x^3 - 3x^2 - 3x.
2. Теперь раскроим скобки во втором произведении:
У нас есть сумма геометрической прогрессии:
x^{2009} + x^{2008} + ... + x^2 + x + 1 = (x^{2010} - 1) / (x - 1).
Умножаем на 2x^2:
2x^2 * (x^{2010} - 1) / (x - 1) = 2x^{2012} - 2x^2 / (x - 1).
3. Теперь сложим оба результата:
-5x^5 - 5x^4 - 5x^3 + (-5x^2 - 3x^2) - 3x + (2x^{2012} - 2x^2 / (x - 1)).
Важно заметить, что в этом выражении нет x^2, так как все степени выше, чем 2.
4. Коэффициент перед x^2 равен -8.
Теперь мы нашли коэффициенты перед x^2 для всех выражений:
- а) 1
- б) 8
- в) -14
- г) -8
Посмотреть полностью
