2025-10-31 04:47:20
Какой косинус угла между векторами а = 3e1 + 4e2 и b = 12e1 - 5e2, если |e1| = |e2| = 1 и e1 перпендикулярен e2? Выберите правильный ответ из следующих вариантов:
- -16/√65
- 16/√65
- -16/65
- 16/65
- 56/65
Алгебра 11 класс Скалярное произведение векторов и угол между ними косинус угла векторы алгебра 11 класс e1 e2 перпендикулярные векторы вычисление косинуса
2025-10-31 04:47:41
Чтобы найти косинус угла между векторами a и b, нам нужно использовать формулу:
cos(θ) = (a • b) / (|a| * |b|)
где a • b - скалярное произведение векторов a и b, а |a| и |b| - их длины.
Теперь давайте найдем скалярное произведение векторов a и b:
- Вектор a = 3e1 + 4e2
- Вектор b = 12e1 - 5e2
Скалярное произведение a • b вычисляется следующим образом:
a • b = (3e1 + 4e2) • (12e1 - 5e2)
Раскроем скобки:
a • b = 3e1 • 12e1 + 3e1 • (-5e2) + 4e2 • 12e1 + 4e2 • (-5e2)
Теперь вспомним, что e1 • e1 = 1, e2 • e2 = 1, а e1 • e2 = 0 (так как e1 и e2 перпендикулярны):
- 3e1 • 12e1 = 36
- 3e1 • (-5e2) = 0
- 4e2 • 12e1 = 0
- 4e2 • (-5e2) = -20
Таким образом, скалярное произведение равно:
a • b = 36 + 0 + 0 - 20 = 16
Теперь найдем длины векторов a и b:
|a| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
|b| = √(12^2 + (-5)^2) = √(144 + 25) = √169 = 13
Теперь подставим все значения в формулу для косинуса:
cos(θ) = (a • b) / (|a| * |b|) = 16 / (5 * 13) = 16 / 65
Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен:
16/65
Правильный ответ: 16/65.