Какой остаток получится при делении многочлена -x^4+kx^3+x-6 на двучлен x-2, если известно, что он делится на двучлен x-1 без остатка, согласно теореме Безу?

Алгебра 11 класс Теорема Безу и деление многочленов остаток деление многочлен -x^4 kx^3 x-6 двучлен x-2 делится x-1 без остатка теорема Безу алгебра 11 класс Новый

Ответ: Остаток при делении многочлена -x⁴ + kx³ + x - 6 на двучлен x - 2 равен 28.

Объяснение: Для начала, воспользуемся теоремой Безу, которая утверждает, что если многочлен P(x) делится на двучлен x - a без остатка, то P(a) = 0. В нашем случае мы знаем, что многочлен -x⁴ + kx³ + x - 6 делится на x - 1 без остатка. Это означает, что при подстановке x = 1 в наш многочлен, мы должны получить 0.

Запишем наш многочлен:

P(x) = -x⁴ + kx³ + x - 6.

Теперь подставим x = 1:

• P(1) = -1⁴ + k*1³ + 1 - 6 = -1 + k + 1 - 6.
• Упрощаем: P(1) = k - 6.

Так как P(1) должно быть равно 0 (по теореме Безу), мы получаем уравнение:

k - 6 = 0.

Решая это уравнение, мы находим:

k = 6.

Теперь, подставив найденное значение k, мы можем записать наш многочлен:

P(x) = -x⁴ + 6x³ + x - 6.

Теперь перейдем к нахождению остатка при делении многочлена P(x) на двучлен x - 2. Для этого снова воспользуемся теоремой Безу, которая гласит, что остаток при делении многочлена P(x) на двучлен x - a равен P(a). В нашем случае a = 2.

Вычислим P(2):

• P(2) = -2⁴ + 6*2³ + 2 - 6 = -16 + 6*8 + 2 - 6.
• Упрощаем: P(2) = -16 + 48 + 2 - 6.
• Считаем: P(2) = 50 - 22 = 28.

Таким образом, остаток при делении многочлена -x⁴ + 6x³ + x - 6 на двучлен x - 2 равен 28.