Многочлен x³ - 5x² - kx + 3 делится на двучлен x - 1 без остатка. Как, используя теорему Безу, можно определить остаток при делении этого многочлена на двучлен x + 2?

Алгебра 11 класс Теорема Безу многочлен деление двучлен теорема Безу остаток алгебра 11 класс Новый

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Безу. Эта теорема утверждает, что если многочлен P(x) делится на двучлен (x - a), то P(a) = 0. В нашем случае мы знаем, что многочлен P(x) = x³ - 5x² - kx + 3 делится на (x - 1) без остатка. Это означает, что:

Шаг 1: Подставим a = 1 в многочлен P(x).

По теореме Безу, мы можем найти значение k, подставив x = 1:

1. P(1) = 1³ - 5(1)² - k(1) + 3 = 0.
2. Это упростится до: 1 - 5 - k + 3 = 0.
3. Соберем все числа: -1 - k = 0.
4. Отсюда k = -1.

Шаг 2: Теперь можем записать многочлен с найденным значением k.

Таким образом, наш многочлен становится:

P(x) = x³ - 5x² + x + 3.

Шаг 3: Теперь найдем остаток при делении этого многочлена на (x + 2).

Согласно теореме Безу, остаток при делении многочлена P(x) на (x + 2) будет равен P(-2):

1. Подставим x = -2 в многочлен P(x):
2. P(-2) = (-2)³ - 5(-2)² + (-2) + 3.
3. Вычислим каждое слагаемое:
• (-2)³ = -8,
• -5(-2)² = -5(4) = -20,
• (-2) = -2,
• 3 = 3.
4. Теперь сложим все результаты: -8 - 20 - 2 + 3 = -27.

Таким образом, остаток при делении многочлена x³ - 5x² + x + 3 на (x + 2) равен -27.