Для решения задачи начнем с того, что нам нужно проанализировать выражение (7a + 15b) / (a + 5b) и выяснить, при каких значениях a и b это выражение является натуральным числом.

Обозначим это выражение как k:

k = (7a + 15b) / (a + 5b)

Теперь мы можем выразить это уравнение в более удобной форме:

7a + 15b = k(a + 5b)

Раскроем скобки:

7a + 15b = ka + 5kb

Теперь перенесем все слагаемые в одну сторону:

7a - ka + 15b - 5kb = 0

Сгруппируем по a и b:

(7 - k)a + (15 - 5k)b = 0

Теперь, чтобы это уравнение имело решение в натуральных числах a и b, необходимо, чтобы коэффициенты при a и b были пропорциональны. Это означает, что:

(7 - k) / (15 - 5k) = -b / a

Теперь проанализируем возможные значения k. Обратите внимание, что для того чтобы k было натуральным, 7 - k и 15 - 5k должны быть как положительными, так и отрицательными.

Рассмотрим случаи для k:

• Если k = 1:
• (7 - 1) = 6 и (15 - 5*1) = 10, тогда (6a + 10b = 0) - не подходит.
• Если k = 2:
• (7 - 2) = 5 и (15 - 5*2) = 5, тогда (5a + 5b = 0) - не подходит.
• Если k = 3:
• (7 - 3) = 4 и (15 - 5*3) = 0, тогда (4a + 0b = 0) - не подходит.
• Если k = 4:
• (7 - 4) = 3 и (15 - 5*4) = -5, тогда (3a - 5b = 0), отсюда a/b = 5/3.
• Если k = 5:
• (7 - 5) = 2 и (15 - 5*5) = -10, тогда (2a - 10b = 0), отсюда a/b = 5.
• Если k = 6:
• (7 - 6) = 1 и (15 - 5*6) = -15, тогда (1a - 15b = 0), отсюда a/b = 15.

Таким образом, возможные значения отношения a/b, при которых (7a + 15b) / (a + 5b) является натуральным числом, это:

• 5/3
• 5
• 15

Ответ: 5/3, 5, 15.