Для нахождения косинуса угла альфа, когда синус альфа равен -2 корня из 2 делить на 3, мы будем использовать основное тригонометрическое тождество:

sin²(α) + cos²(α) = 1

Шаги решения:

1. Найдем значение sin²(α):
• Сначала вычислим sin²(α):
• sin²(α) = (-2√2/3)² = (4 * 2) / 9 = 8/9.
2. Теперь подставим значение sin²(α) в основное тригонометрическое тождество:
• cos²(α) = 1 - sin²(α) = 1 - 8/9 = 1/9.
3. Теперь найдем значение cos(α):
• cos(α) = ±√(1/9) = ±1/3.
4. Определим знак косинуса:
• Поскольку угол альфа находится в интервале от 3π/2 до 2π, это четвертый квадрант, где косинус положителен.
• Таким образом, cos(α) = 1/3.

Ответ: Косинус угла альфа равен 1/3.

Дополнительные значения косинуса:

• cos(α) = 1/3 (основное значение).
• cos(2α) = 2cos²(α) - 1 = 2*(1/3)² - 1 = 2/9 - 1 = -7/9.
• cos(3α) = 4cos³(α) - 3cos(α) = 4*(1/3)³ - 3*(1/3) = 4/27 - 1 = -23/27.

Итак, окончательные значения:

• cos(α) = 1/3
• cos(2α) = -7/9
• cos(3α) = -23/27