Чтобы решить уравнение (3x^2 + 11x + 6) / (8 + 10x - 3x^2) = (x + 3) / (4 - x), начнем с того, что упростим его и найдем все возможные значения x, включая целые корни на промежутке [2; 15].

1. Перепишем уравнение:

(3x^2 + 11x + 6) * (4 - x) = (x + 3) * (8 + 10x - 3x^2)

2. Раскроем скобки:

• Слева: 3x^2 * 4 - 3x^2 * x + 11x * 4 - 11x * x + 6 * 4 - 6 * x = 12x^2 - 3x^3 + 44x - 11x^2 + 24 - 6x
• Справа: x * 8 + 10x^2 + 3 * 8 - 3x^2 * x = 8x + 10x^2 + 24 - 3x^3

3. После раскрытия скобок у нас получится:

-3x^3 + (12x^2 - 11x^2) + (44x - 6x) + 24 = -3x^3 + 10x^2 + 8x + 24

Теперь упростим уравнение:

-3x^3 + x^2 + 36 = 0

4. Переносим все в одну сторону:

3x^3 - 10x^2 - 36 = 0

5. Теперь будем искать целые корни. По теореме о целых корнях, возможные целые корни уравнения - это делители свободного члена (-36):

• ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36

6. Проверим каждое значение на промежутке [2; 15]:

• x = 2: 3(2)^3 - 10(2)^2 - 36 = 3(8) - 10(4) - 36 = 24 - 40 - 36 = -52 (не корень)
• x = 3: 3(3)^3 - 10(3)^2 - 36 = 3(27) - 10(9) - 36 = 81 - 90 - 36 = -45 (не корень)
• x = 4: 3(4)^3 - 10(4)^2 - 36 = 3(64) - 10(16) - 36 = 192 - 160 - 36 = -4 (не корень)
• x = 5: 3(5)^3 - 10(5)^2 - 36 = 3(125) - 10(25) - 36 = 375 - 250 - 36 = 89 (не корень)
• x = 6: 3(6)^3 - 10(6)^2 - 36 = 3(216) - 10(36) - 36 = 648 - 360 - 36 = 252 (не корень)
• x = 7: 3(7)^3 - 10(7)^2 - 36 = 3(343) - 10(49) - 36 = 1029 - 490 - 36 = 503 (не корень)
• x = 8: 3(8)^3 - 10(8)^2 - 36 = 3(512) - 10(64) - 36 = 1536 - 640 - 36 = 860 (не корень)
• x = 9: 3(9)^3 - 10(9)^2 - 36 = 3(729) - 10(81) - 36 = 2187 - 810 - 36 = 1341 (не корень)
• x = 10: 3(10)^3 - 10(10)^2 - 36 = 3(1000) - 10(100) - 36 = 3000 - 1000 - 36 = 1964 (не корень)
• x = 11: 3(11)^3 - 10(11)^2 - 36 = 3(1331) - 10(121) - 36 = 3993 - 1210 - 36 = 2747 (не корень)
• x = 12: 3(12)^3 - 10(12)^2 - 36 = 3(1728) - 10(144) - 36 = 5184 - 1440 - 36 = 3708 (не корень)
• x = 13: 3(13)^3 - 10(13)^2 - 36 = 3(2197) - 10(169) - 36 = 6591 - 1690 - 36 = 4875 (не корень)
• x = 14: 3(14)^3 - 10(14)^2 - 36 = 3(2744) - 10(196) - 36 = 8232 - 1960 - 36 = 6248 (не корень)
• x = 15: 3(15)^3 - 10(15)^2 - 36 = 3(3375) - 10(225) - 36 = 10125 - 2250 - 36 = 7890 (не корень)

7. Таким образом, мы проверили все целые числа на промежутке [2; 15] и не нашли ни одного корня. Следовательно, количество целых корней уравнения на данном промежутке равно 0.