Чтобы решить уравнение 32 sin 2x + 8 cos 4x = 23 на отрезке [-π; 3π/4], начнем с преобразования уравнения.

Первым шагом мы можем выразить cos 4x через sin 2x. Используем известное тригонометрическое тождество:

• cos 4x = 1 - 2sin² 2x

Подставим это в уравнение:

32 sin 2x + 8(1 - 2sin² 2x) = 23

Раскроем скобки:

32 sin 2x + 8 - 16 sin² 2x = 23

Теперь перенесем 23 на левую сторону:

32 sin 2x - 16 sin² 2x + 8 - 23 = 0

Упростим уравнение:

-16 sin² 2x + 32 sin 2x - 15 = 0

Умножим все уравнение на -1 для удобства:

16 sin² 2x - 32 sin 2x + 15 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно sin 2x. Обозначим y = sin 2x. Тогда уравнение принимает вид:

16y² - 32y + 15 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-32)² - 4 * 16 * 15 = 1024 - 960 = 64

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня:

y1,2 = (32 ± √64) / (2 * 16) = (32 ± 8) / 32

Теперь найдем корни:

• y1 = (32 + 8) / 32 = 40 / 32 = 5/4 (не подходит, так как sin не может быть больше 1)
• y2 = (32 - 8) / 32 = 24 / 32 = 3/4 (подходит)

Теперь у нас есть один подходящий корень y = 3/4. Вспомним, что y = sin 2x, значит:

sin 2x = 3/4

Теперь найдем 2x. Уравнение sin 2x = 3/4 имеет решения:

• 2x = arcsin(3/4) + 2kπ
• 2x = π - arcsin(3/4) + 2kπ

Теперь найдем x:

• x = (1/2)arcsin(3/4) + kπ
• x = (1/2)(π - arcsin(3/4)) + kπ

Теперь определим, сколько значений x попадает в интервал [-π; 3π/4].

Для этого нам нужно найти значения k, которые удовлетворяют этому условию.

Рассмотрим первое уравнение:

x = (1/2)arcsin(3/4) + kπ

Рассмотрим разные значения k:

• k = -1: x = (1/2)arcsin(3/4) - π
• k = 0: x = (1/2)arcsin(3/4)
• k = 1: x = (1/2)arcsin(3/4) + π (не подходит, так как больше 3π/4)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

x = (1/2)(π - arcsin(3/4)) + kπ

• k = -1: x = (1/2)(π - arcsin(3/4)) - π
• k = 0: x = (1/2)(π - arcsin(3/4))
• k = 1: x = (1/2)(π - arcsin(3/4)) + π (не подходит, так как больше 3π/4)

Теперь мы видим, что у нас есть 2 подходящих значения x для k = -1 и k = 0 для обоих уравнений.

Таким образом, общее количество корней уравнения 32 sin 2x + 8 cos 4x = 23 на отрезке [-π; 3π/4] равно 4.