Чтобы найти количество корней уравнения sin x = -x / (16π), начнем с анализа обеих сторон уравнения.

Сначала рассмотрим функцию f(x) = sin x + x / (16π). Мы будем искать нули этой функции, то есть значения x, для которых f(x) = 0.

Теперь проанализируем обе части уравнения:

• Функция sin x:
• Функция sin x периодическая, с периодом 2π.
• Значения sin x колеблются в пределах от -1 до 1.
• Функция -x / (16π):
• Эта функция линейная и убывающая.
• При x = 0, -x / (16π) = 0.
• При увеличении x, значение -x / (16π) становится все более отрицательным.

Теперь, чтобы найти количество решений, рассмотрим поведение функции f(x):

• При x = 0: f(0) = sin(0) + 0 = 0.
• При x > 0: sin x будет расти до 1, но -x / (16π) будет убывать, и f(x) станет отрицательным.
• При x < 0: sin x будет уменьшаться до -1, а -x / (16π) будет расти, и f(x) также станет положительным.

Теперь найдем, как часто функция sin x пересекает прямую -x / (16π):

Поскольку sin x периодическая и колеблется между -1 и 1, а -x / (16π) является линейной функцией, которая уходит в бесконечность по мере увеличения |x|, мы можем ожидать, что функция f(x) будет иметь:

1. Одно решение в интервале (-∞, 0).
2. Одно решение в интервале (0, 1). Поскольку sin x достигает 1, а -x / (16π) здесь положительно.
3. По аналогии, в каждом интервале длиной 2π будет два пересечения (по одному в положительной и отрицательной части), пока -x / (16π) не станет меньше -1.

Теперь определим, когда -x / (16π) = -1:

-x / (16π) = -1

x = 16π

Таким образом, мы можем ожидать, что у нас будет 2 решения на каждом интервале длиной 2π, пока x не достигнет 16π. Поскольку 16π / (2π) = 8, у нас будет 8 интервалов, каждый из которых дает 2 пересечения.

Следовательно, общее количество корней уравнения sin x = -x / (16π) составляет:

Количество корней = 2 * 8 + 1 = 17.

Таким образом, у уравнения sin x = -x / (16π) есть 17 корней.