Чтобы найти наибольшее значение функции y = (3x^2 - 36x + 36)e^x на отрезке [-1; 4], нам нужно выполнить несколько шагов.

Сначала определим функцию:

y = (3x^2 - 36x + 36)e^x.

Теперь применим правило произведения для нахождения производной:

y' = (u'v + uv'),

где u = 3x^2 - 36x + 36 и v = e^x.

Находим u' и v':

• u' = 6x - 36,
• v' = e^x.

Теперь подставим в формулу производной:

y' = (6x - 36)e^x + (3x^2 - 36x + 36)e^x.

Можно вынести e^x за скобки:

y' = e^x((6x - 36) + (3x^2 - 36x + 36)).

Упрощаем выражение в скобках:

y' = e^x(3x^2 - 30x).

Для этого приравняем производную к нулю:

e^x(3x^2 - 30x) = 0.

Поскольку e^x никогда не равен нулю, то нам нужно решить уравнение:

3x^2 - 30x = 0.

Вынесем 3x за скобки:

3x(x - 10) = 0.

Таким образом, критические точки:

• x = 0,
• x = 10.

Точка x = 10 не попадает в указанный отрезок, поэтому мы будем работать только с x = 0.

• y(-1) = (3(-1)^2 - 36(-1) + 36)e^(-1) = (3 + 36 + 36)e^(-1) = 75/e.
• y(0) = (3(0)^2 - 36(0) + 36)e^(0) = 36.
• y(4) = (3(4)^2 - 36(4) + 36)e^(4) = (48 - 144 + 36)e^(4) = (-60)e^(4).

Теперь сравним значения:

• y(-1) = 75/e ≈ 27.56,
• y(0) = 36,
• y(4) = -60e^4, что отрицательно и меньше предыдущих значений.

Наибольшее значение функции на отрезке [-1; 4] достигается в точке x = 0 и равно 36.