Для нахождения суммы всех целых значений выражения √(12x - x²) + x / √((x + 2)(9 - x)), начнем с определения области допустимых значений для данного выражения.

1. **Первый радикал**: √(12x - x²) требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

• 12x - x² ≥ 0
• x(12 - x) ≥ 0

Это неравенство выполняется, когда x находится в пределах от 0 до 12, включая эти значения. То есть:

• 0 ≤ x ≤ 12

2. **Второй радикал**: √((x + 2)(9 - x)) также требует, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

• (x + 2)(9 - x) ≥ 0

Для этого произведение должно быть неотрицательным. Найдем корни неравенства:

• x + 2 = 0 → x = -2
• 9 - x = 0 → x = 9

Теперь определим промежутки, в которых произведение положительно:

• (-∞, -2) - положительное
• (-2, 9) - отрицательное
• (9, +∞) - положительное

Таким образом, неравенство выполняется для:

• x ≤ -2 или x ≥ 9

Теперь пересечем области допустимых значений:

• 0 ≤ x ≤ 12
• x ≤ -2 или x ≥ 9

Пересечение дает два промежутка: [9, 12].

3. **Теперь найдем целые значения x в этом промежутке**:

• x = 9
• x = 10
• x = 11
• x = 12

4. **Подставим эти значения в выражение и найдем сумму**:

• Для x = 9: √(12*9 - 9²) + 9 / √((9 + 2)(9 - 9)) = √(108 - 81) + 9 / 0 (неопределено)
• Для x = 10: √(12*10 - 10²) + 10 / √((10 + 2)(9 - 10)) = √(120 - 100) + 10 / √(-1) (неопределено)
• Для x = 11: √(12*11 - 11²) + 11 / √((11 + 2)(9 - 11)) = √(132 - 121) + 11 / √(-4) (неопределено)
• Для x = 12: √(12*12 - 12²) + 12 / √((12 + 2)(9 - 12)) = √(144 - 144) + 12 / √(-6) (неопределено)

Таким образом, все целые значения x в диапазоне [9, 12] приводят к неопределенности во втором радикале. Следовательно, выражение не имеет целых значений.

Ответ: Сумма всех целых значений выражения равна 0, так как целых значений нет.