Чтобы найти точку максимума функции f(x) = ln((x + 5)^5) - 5x, начнем с упрощения данной функции. Мы можем использовать свойства логарифмов:

Шаг 1: Упростим функцию.

• Используя свойство логарифмов, мы можем переписать функцию:
• f(x) = 5 * ln(x + 5) - 5x.

Шаг 2: Найдем производную функции.

• Теперь найдем первую производную f'(x):
• f'(x) = 5 * (1/(x + 5)) - 5.
• Упрощаем производную:
• f'(x) = 5/(x + 5) - 5.

Шаг 3: Найдем критические точки.

• Приравняем производную к нулю:
• 5/(x + 5) - 5 = 0.
• Переносим 5 на правую сторону:
• 5/(x + 5) = 5.
• Умножаем обе стороны на (x + 5):
• 5 = 5(x + 5).
• Раскрываем скобки:
• 5 = 5x + 25.
• Переносим 5x на левую сторону:
• 5 - 25 = 5x.
• -20 = 5x.
• Делим обе стороны на 5:
• x = -4.

Шаг 4: Проверим, является ли эта точка максимумом.

• Теперь найдем вторую производную f''(x):
• f''(x) = -5/(x + 5)^2.
• Подставим x = -4:
• f''(-4) = -5/(-4 + 5)^2 = -5/1 = -5.
• Так как f''(-4) < 0, это означает, что в точке x = -4 находится максимум.

Шаг 5: Найдем значение функции в точке максимума.

• Теперь подставим x = -4 в исходную функцию f(x):
• f(-4) = ln((-4 + 5)^5) - 5*(-4).
• f(-4) = ln(1^5) + 20.
• f(-4) = ln(1) + 20 = 0 + 20 = 20.

Ответ: Точка максимума функции f(x) находится в x = -4, а наибольшее значение этой функции равно 20.