Чтобы найти точку максимума функции f(x) = log2(2 + 2x - x^2) - 2, нам нужно выполнить несколько шагов. Мы начнем с нахождения производной функции и определения критических точек.

1. Найдём производную функции f(x).

Для этого используем правило дифференцирования логарифмической функции. Производная log2(u) равна (1/(u * ln(2))) * (du/dx), где u = 2 + 2x - x^2.

2. Найдём производную u:

u = 2 + 2x - x^2. Тогда производная u будет:

• du/dx = 2 - 2x.
3. Теперь подставим это в формулу для производной f(x):

f'(x) = (1 / ((2 + 2x - x^2) * ln(2))) * (2 - 2x).

4. Найдем критические точки, приравняв f'(x) к нулю:

Чтобы производная равнялась нулю, необходимо, чтобы числитель равнялся нулю, так как знаменатель не может быть равен нулю (это приведет к неопределенности).

• 2 - 2x = 0
• 2 = 2x
• x = 1.
5. Теперь проверим, является ли эта точка максимумом.

Для этого найдем вторую производную f''(x) и подставим x = 1:

Для нахождения второй производной, мы можем использовать производную f'(x), которую мы нашли ранее. Но проще будет проверить знак первой производной в окрестности точки x = 1.

6. Проверим значения f'(x) перед и после x = 1:
• Для x < 1 (например, x = 0): f'(0) = (1 / (2 * ln(2))) * 2 > 0 (функция возрастает).
• Для x > 1 (например, x = 2): f'(2) = (1 / (0 * ln(2))) * (-2) < 0 (функция убывает).

Таким образом, в точке x = 1 функция меняет знак с положительного на отрицательный, что указывает на то, что это точка максимума.

7. Теперь найдем значение функции в этой точке:

f(1) = log2(2 + 2*1 - 1^2) - 2 = log2(2 + 2 - 1) - 2 = log2(3) - 2.

Это значение и будет максимальным значением функции.

Ответ: Точка максимума функции f(x) находится в x = 1, а значение функции в этой точке равно log2(3) - 2.