Чтобы решить эту задачу, нам нужно определить, при каких значениях n выражения (n + 21) / n и n / (n + 21) являются конечными десятичными дробями.

Шаг 1: Условия конечной десятичной дроби

Число можно представить в виде конечной десятичной дроби, если его дробная часть может быть представлена в виде a / b, где b является произведением только простых множителей 2 и 5. Это значит, что в знаменателе дроби не должно быть других простых множителей.

Шаг 2: Анализ первого выражения (n + 21) / n

Рассмотрим дробь (n + 21) / n. Мы можем упростить её:

• (n + 21) / n = 1 + 21/n

Чтобы дробь 21/n была конечной десятичной дробью, n должно делить 21 так, чтобы в знаменателе не осталось других простых множителей, кроме 2 и 5.

Шаг 3: Делители числа 21

Число 21 имеет следующие делители:

• 1
• 3
• 7
• 21

Теперь проверим, какие из этих делителей могут быть представлены в виде произведения только простых множителей 2 и 5:

• 1 - подходит
• 3 - не подходит
• 7 - не подходит
• 21 - не подходит

Таким образом, единственным подходящим значением для n, чтобы (n + 21) / n было конечной десятичной дробью, является n = 1.

Шаг 4: Анализ второго выражения n / (n + 21)

Теперь рассмотрим дробь n / (n + 21). Мы можем упростить её:

• n / (n + 21) = 1 / (1 + 21/n)

Чтобы эта дробь была конечной десятичной дробью, 21/n должно быть представлено только через множители 2 и 5.

Мы уже знаем, что n должно делить 21, и мы проверили делители 21. Теперь мы проверим, какие из них могут быть конечными десятичными дробями:

• 1 - подходит
• 3 - не подходит
• 7 - не подходит
• 21 - не подходит

Таким образом, единственным подходящим значением для n, чтобы n / (n + 21) было конечной десятичной дробью, также является n = 1.

Шаг 5: Подведение итогов

Теперь мы можем подвести итоги. Единственное натуральное число n < 70, для которого оба выражения (n + 21) / n и n / (n + 21) являются конечными десятичными дробями, это:

• n = 1