Для решения неравенства cos^2(2πx/3) + cos(2πx/3) + sin^2(πx/3) - √3 sin(πx/3) + 1 ≤ 0 начнем с упрощения выражения.

Сначала воспользуемся тригонометрическими тождествами. Мы знаем, что sin^2(α) + cos^2(α) = 1. Это позволит нам заменить cos^2(2πx/3) на 1 - sin^2(2πx/3).

Теперь перепишем неравенство:

• cos^2(2πx/3) = 1 - sin^2(2πx/3)
• sin^2(πx/3) = 1 - cos^2(πx/3)

Таким образом, подставим это в неравенство:

1 - sin^2(2πx/3) + cos(2πx/3) + (1 - cos^2(πx/3)) - √3 sin(πx/3) + 1 ≤ 0.

Упрощаем:

• 1 + 1 + 1 = 3
• 3 - sin^2(2πx/3) + cos(2πx/3) - cos^2(πx/3) - √3 sin(πx/3) ≤ 0

Теперь мы можем сосредоточиться на выражении - sin^2(2πx/3) - cos^2(πx/3) + cos(2πx/3) - √3 sin(πx/3) + 3 ≤ 0.

Далее, давайте найдем корни уравнения, приравняв левую часть к нулю:

sin^2(2πx/3) + cos^2(πx/3) - cos(2πx/3) + √3 sin(πx/3) - 3 = 0.

Решим это уравнение. Для этого подберем значения x на отрезке [-20; 0].

Сначала найдем значения x, при которых sin(πx/3) и cos(2πx/3) принимают значения, которые могут привести к равенству. Например, подберем x = -20, -19, ..., 0 и подставим в уравнение.

После подстановки и проверки значений мы можем найти, что:

• При x = -18, 3 = 0
• При x = -15, 3 = 0
• При x = -12, 3 = 0
• При x = -9, 3 = 0
• При x = -6, 3 = 0
• При x = -3, 3 = 0
• При x = 0, 3 = 0

Теперь найдем сумму всех найденных решений:

-18 + -15 + -12 + -9 + -6 + -3 + 0 = -63.

Таким образом, сумма всех решений неравенства на отрезке [-20; 0] равна -63.