Чтобы найти значение выражения 18√5 · tg(3π/4) · sin(α - β), начнем с вычисления каждого из компонентов по отдельности.

tg(3π/4) можно найти, зная, что 3π/4 находится во втором квадранте. В этом квадранте тангенс отрицательный, и его значение равно:

• tg(3π/4) = -tg(π/4) = -1.

Для нахождения sin(α - β) используем формулу:

• sin(α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ.

У нас есть значение sinα = 2/3 и cosβ = √5/3. Теперь нужно найти cosα и sinβ.

Поскольку α ∈ (0; π/2), то sin²α + cos²α = 1:

• cos²α = 1 - sin²α = 1 - (2/3)² = 1 - 4/9 = 5/9.
• cosα = √(5/9) = √5/3 (положительное значение, так как α в первом квадранте).

Поскольку β ∈ (3π/2; 2π), то sinβ будет отрицательным. Используем аналогичное уравнение:

• sin²β + cos²β = 1.
• sin²β = 1 - cos²β = 1 - (√5/3)² = 1 - 5/9 = 4/9.
• sinβ = -√(4/9) = -2/3 (отрицательное значение, так как β в четвертом квадранте).

Теперь подставим найденные значения в формулу:

• sin(α - β) = (2/3) * (√5/3) - (√5/3) * (-2/3).
• sin(α - β) = (2√5/9) + (2√5/9) = 4√5/9.

Теперь подставим все найденные значения в выражение:

• 18√5 · tg(3π/4) · sin(α - β) = 18√5 · (-1) · (4√5/9).
• = -18√5 * 4√5 / 9.
• = -72 * 5 / 9.
• = -360 / 9.
• = -40.

Таким образом, значение выражения равно -40.