Давайте поочередно найдем наименьший член для каждой из предложенных последовательностей.

Для этой последовательности мы можем исследовать её поведение при увеличении n. Сначала, давайте вычислим несколько первых членов:

• x_1 = 1^3 / 2^1 = 1/2 = 0.5
• x_2 = 2^3 / 2^2 = 8/4 = 2
• x_3 = 3^3 / 2^3 = 27/8 = 3.375
• x_4 = 4^3 / 2^4 = 64/16 = 4
• x_5 = 5^3 / 2^5 = 125/32 ≈ 3.906
• x_6 = 6^3 / 2^6 = 216/64 = 3.375

Мы видим, что значения растут, но затем начинают уменьшаться. Мы можем предположить, что существует максимум. Для точного нахождения минимума нужно исследовать предел при n, стремящемся к бесконечности. Мы можем заметить, что x_n стремится к 0 при n, стремящемся к бесконечности. Следовательно, наименьший член будет в пределах первых нескольких значений.

Вычислим несколько первых членов:

• x_1 = √1 / (100 + 1) = 1/101 ≈ 0.0099
• x_2 = √2 / (100 + 2) ≈ 0.0141
• x_3 = √3 / (100 + 3) ≈ 0.0173
• x_4 = √4 / (100 + 4) = 2/104 ≈ 0.0192
• x_5 = √5 / (100 + 5) ≈ 0.0222

Заметим, что значения увеличиваются, но остаются достаточно малыми. При увеличении n, x_n стремится к 0, следовательно, наименьший член также будет в пределах первых значений.

Эта последовательность также требует анализа. Вычислим несколько членов:

• x_1 = 1000^1 / 1! = 1000
• x_2 = 1000^2 / 2! = 500000
• x_3 = 1000^3 / 3! = 166666666.67

Здесь видно, что значения растут очень быстро. Однако, при n, стремящемся к бесконечности, n! растет быстрее, чем 1000^n, что приведет к тому, что x_n будет стремиться к 0. Наименьший член будет также в пределах первых значений.

Эта последовательность является квадратичной. Найдем её минимум, используя производную:

f'(n) = 2n - 9 = 0

Решая, получаем n = 4.5. Подставим n = 4 и n = 5:

• x_4 = 4^2 - 9*4 - 100 = 16 - 36 - 100 = -120
• x_5 = 5^2 - 9*5 - 100 = 25 - 45 - 100 = -120

Таким образом, наименьший член этой последовательности равен -120.

Здесь мы можем также исследовать поведение. Вычислим несколько первых членов:

• x_1 = 1 + 100/1 = 101
• x_2 = 2 + 100/2 = 52
• x_3 = 3 + 100/3 ≈ 36.33
• x_4 = 4 + 100/4 = 29
• x_5 = 5 + 100/5 = 25

Мы видим, что значения уменьшаются. При большом n, второй член стремится к 0, и x_n будет стремиться к n. Таким образом, наименьший член будет также в пределах первых значений.

Теперь подводим итоги:

• Наименьший член x_n = n^3 / 2^n: 0.5
• Наименьший член x_n = √n / (100 + n): 0.0099
• Наименьший член x_n = 1000^n / n!: 1000 (первый член)
• Наименьший член x_n = n^2 - 9n - 100: -120
• Наименьший член x_n = n + 100 / n: 25 (первый член)

Таким образом, наименьший член среди всех последовательностей - это -120 из четвёртой последовательности.