Не могли бы вы помочь мне с решением неравенства?

Неравенство:

(x² + 2x - 3) / (2x - 3) ≥ 0

Алгебра 11 класс Неравенства алгебра 11 класс решение неравенства неравенство x² + 2x - 3 математические неравенства алгебраические выражения Новый

Конечно! Давайте разберем неравенство (x² + 2x - 3) / (2x - 3) ≥ 0 шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем нули числителя и знаменателя.

• Сначала решим уравнение числителя: x² + 2x - 3 = 0.
• Это квадратное уравнение можно решить, используя формулу дискриминанта: D = b² - 4ac, где a = 1, b = 2, c = -3.

Вычислим дискриминант:

• D = 2² - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.

Теперь найдем корни уравнения:

• x1 = (-b + √D) / (2a) = (-2 + 4) / 2 = 1.
• x2 = (-b - √D) / (2a) = (-2 - 4) / 2 = -3.

Таким образом, нули числителя: x1 = 1 и x2 = -3.

Шаг 2: Найдем нули знаменателя.

• Решим уравнение знаменателя: 2x - 3 = 0.
• Отсюда x = 3/2.

Теперь у нас есть три ключевых значения: -3, 1 и 3/2. Эти значения разбивают числовую прямую на четыре промежутка:

• (-∞, -3)
• (-3, 1)
• (1, 3/2)
• (3/2, +∞)

Шаг 3: Определим знак дроби на каждом промежутке.

Для этого подберем тестовые точки из каждого промежутка:

• Для промежутка (-∞, -3), возьмем x = -4:
• (-4)² + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 (положительно); 2(-4) - 3 = -8 - 3 = -11 (отрицательно). Значит, дробь положительна.
• Для промежутка (-3, 1), возьмем x = 0:
• (0)² + 2(0) - 3 = -3 (отрицательно); 2(0) - 3 = -3 (отрицательно). Значит, дробь положительна.
• Для промежутка (1, 3/2), возьмем x = 1.2:
• (1.2)² + 2(1.2) - 3 = 1.44 + 2.4 - 3 = 0.84 (положительно); 2(1.2) - 3 = 2.4 - 3 = -0.6 (отрицательно). Значит, дробь отрицательна.
• Для промежутка (3/2, +∞), возьмем x = 2:
• (2)² + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 (положительно); 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 (положительно). Значит, дробь положительна.

Шаг 4: Составим итог.

Теперь мы можем записать знаки дроби на каждом промежутке:

• (-∞, -3): положительно
• (-3, 1): отрицательно
• (1, 3/2): отрицательно
• (3/2, +∞): положительно

Теперь определим, где дробь больше или равна нулю:

• На промежутках (-∞, -3) и (3/2, +∞) дробь положительна.
• Также дробь равна нулю в точках x = -3 и x = 1.

Шаг 5: Запишем решение неравенства.

Итак, решение неравенства (x² + 2x - 3) / (2x - 3) ≥ 0 будет:

x ∈ (-∞, -3] ∪ [1, 3/2) ∪ (3/2, +∞).

Это и есть окончательный ответ. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!