2025-10-25 09:58:59
Покажите, что при натуральном n > 1 число n^4 + 4 является составным. То же самое покажите для n^4 + n^2 + 1.
Алгебра 11 класс Составные числа и их свойства алгебра 11 Составное число n^4 + 4 n^4 + n^2 + 1 доказательство составности Новый
2025-10-25 09:59:16
Давайте рассмотрим оба выражения по отдельности и покажем, что они являются составными при натуральном n > 1.
1. Рассмотрим выражение n^4 + 4:Мы можем заметить, что n^4 + 4 можно представить в виде суммы квадратов:
- n^4 + 4 = n^4 + 4 * 1^2.
Теперь воспользуемся формулой разложения суммы квадратов:
- a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi),
где a = n^2 и b = 2. Таким образом, мы можем записать:
- n^4 + 4 = (n^2 + 2i)(n^2 - 2i).
Однако, для того чтобы доказать составность, мы воспользуемся другим методом. Мы можем разложить n^4 + 4 следующим образом:
- n^4 + 4 = (n^2 + 2)^2 - (2n)^2 = (n^2 + 2 - 2n)(n^2 + 2 + 2n).
Теперь у нас есть два множителя: (n^2 - 2n + 2) и (n^2 + 2 + 2n). При n > 1 оба множителя больше 1, следовательно, n^4 + 4 является составным.
2. Теперь рассмотрим выражение n^4 + n^2 + 1:Мы можем использовать метод разложения на множители. Заметим, что n^4 + n^2 + 1 можно представить как:
- n^4 + n^2 + 1 = (n^2)^2 + (n^2) + 1.
Это выражение можно разложить, используя формулу для корней кубического уравнения. Мы можем заметить, что:
- n^4 + n^2 + 1 = (n^2 + 1)^2 - n^2 = (n^2 + 1 - n)(n^2 + 1 + n).
Теперь у нас также есть два множителя: (n^2 - n + 1) и (n^2 + n + 1). При n > 1 оба множителя также больше 1, следовательно, n^4 + n^2 + 1 является составным.
Итак, мы показали, что оба выражения n^4 + 4 и n^4 + n^2 + 1 являются составными при натуральном n > 1.