Помогите пожалуйста!!!

Как можно исследовать функцию и построить ее график для уравнения: y = 3x - x^3?

Алгебра 11 класс Исследование и график функции исследование функции построение графика уравнение y = 3x - x^3 алгебра 11 класс анализ функции Новый

Давайте вместе исследуем функцию y = 3x - x³ и построим её график. Мы будем следовать нескольким шагам, чтобы понять поведение этой функции.

Шаг 1: Найдем область определения функции

Функция y = 3x - x³ является полиномиальной, и полиномы определены для всех значений x. Следовательно, область определения:

Область определения: все действительные числа (x ∈ R)

Шаг 2: Найдем производную функции

Для исследования функции мы найдем её производную, чтобы определить критические точки.

Производная y по x будет:

y' = 3 - 3x²

Шаг 3: Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

1. 3 - 3x² = 0
2. 3x² = 3
3. x² = 1
4. x = ±1

Таким образом, критические точки: x = 1 и x = -1.

Шаг 4: Исследуем знаки производной

Теперь исследуем знаки производной на интервалах, разделенных критическими точками:

• Для x < -1: y' > 0 (функция возрастает)
• Для -1 < x < 1: y' < 0 (функция убывает)
• Для x > 1: y' < 0 (функция убывает)

Таким образом, мы видим, что:

• В точке x = -1 функция достигает максимума.
• В точке x = 1 функция достигает минимума.

Шаг 5: Найдем значения функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

1. y(-1) = 3(-1) - (-1)³ = -3 + 1 = -2
2. y(1) = 3(1) - (1)³ = 3 - 1 = 2

Таким образом, мы имеем:

• Максимум в точке (-1, -2)
• Минимум в точке (1, 2)

Шаг 6: Найдем значения функции на концах

Поскольку функция является кубической, мы можем сказать, что:

• При x → -∞, y → +∞
• При x → +∞, y → -∞

Шаг 7: Построим график функции

Теперь, имея все необходимые точки и информацию о поведении функции, можно построить график. График будет выглядеть следующим образом:

• Функция возрастает от -∞ до -1.
• Достигает максимума в точке (-1, -2).
• Убывает от -1 до 1.
• Достигает минимума в точке (1, 2).
• Убывает от 1 до +∞.

Таким образом, мы исследовали функцию y = 3x - x³ и построили её график. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!