Задание 1: Найдите область определения функции.

а) Для функции у = √(2х - х²) необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть:

• 2х - х² ≥ 0.

Перепишем неравенство:

• х(2 - х) ≥ 0.

Теперь найдем корни уравнения х(2 - х) = 0:

• х = 0;
• х = 2.

Построим числовую прямую и определим знаки на интервалах:

• (-∞, 0) - знак положительный;
• (0, 2) - знак отрицательный;
• (2, +∞) - знак положительный.

Таким образом, область определения функции: [0, 2].

б) Для функции у = 9/(х + 5)³ необходимо, чтобы знаменатель не равнялся нулю:

• х + 5 ≠ 0;

Следовательно, х ≠ -5. Область определения функции: (-∞, -5) ∪ (-5, +∞).

Задание 2: Постройте график функции у = ((х + 1)^(4/3)) + 1.

Сначала найдем область определения:

• Выражение (х + 1)^(4/3) определено для всех х, так как 4/3 - это положительная степень.

Следовательно, область определения функции: (-∞, +∞).

Теперь найдем область значений:

• Минимальное значение (х + 1)^(4/3) при х = -1 равно 0.
• Таким образом, у = 0 + 1 = 1, следовательно, минимальное значение функции у равно 1.

Область значений: [1, +∞).

График функции можно построить, подставив несколько значений х и вычислив соответствующие значения у.

Задание 3: Найдите функцию, обратную к данной, её область определения и область значений: у = ⁴√(х - 3).

Сначала найдем обратную функцию:

• Запишем у = ⁴√(х - 3).
• Возведем обе стороны в 4-ю степень: у^4 = х - 3.
• Выразим х: х = у^4 + 3.

Таким образом, обратная функция: х = у^4 + 3.

Теперь определим область определения и область значений:

• Область определения у = ⁴√(х - 3): х ≥ 3, следовательно, область определения обратной функции: у ≥ 0.
• Область значений у = ⁴√(х - 3): у ≥ 0, следовательно, область определения обратной функции: (-∞, +∞).

Задание 4: Решите уравнения.

а) √(5 - 4х) = 3,2:

• Возведем обе стороны в квадрат: 5 - 4х = 10,24.
• Решим уравнение: -4х = 10,24 - 5 = 5,24.
• х = -5,24/4 = -1,31.

б) √(4х² - 3х - 1) = х + 1:

• Возведем обе стороны в квадрат: 4х² - 3х - 1 = (х + 1)².
• Раскроем скобки: 4х² - 3х - 1 = х² + 2х + 1.
• Переносим все в одну сторону: 3х² - 5х - 2 = 0.
• Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: D = (-5)² - 4*3*(-2) = 25 + 24 = 49.
• Корни: х = (5 ± 7) / 6, х₁ = 2, х₂ = -1/3.

Задание 5: Решите неравенство.

√(2х - х² + 1) ≥ 2х - 3:

• Сначала определим область определения: 2х - х² + 1 ≥ 0.
• Найдем корни уравнения 2х - х² + 1 = 0, используя дискриминант.
• Решим неравенство, определив знаки на интервалах.

После нахождения корней и проверки знаков, определим решение неравенства.