Конечно! Давайте решим неравенство 2cos²x + cosx - 1 > 0 шаг за шагом.

Шаг 1: Замена переменной

Для упрощения решения мы можем сделать замену переменной. Обозначим cosx как t. Тогда неравенство примет вид:

2t² + t - 1 > 0.

Шаг 2: Найдем корни квадратного уравнения

Теперь мы можем решить соответствующее квадратное уравнение:

2t² + t - 1 = 0.

Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 2, b = 1, c = -1.

Подставим значения:

• b² - 4ac = 1² - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.
• Теперь находим корни:
• t = (-1 ± √9) / (2 * 2) = (-1 ± 3) / 4.

Это дает нам два корня:

• t₁ = (2) / 4 = 0.5,
• t₂ = (-4) / 4 = -1.

Шаг 3: Определим интервалы

Теперь у нас есть корни t₁ = 0.5 и t₂ = -1. Эти корни делят числовую ось на три интервала:

• (-∞, -1),
• (-1, 0.5),
• (0.5, +∞).

Шаг 4: Проверим знаки на интервалах

Теперь мы проверим знак неравенства на каждом из интервалов, подставляя тестовые значения:

• Для интервала (-∞, -1) возьмем t = -2: 2(-2)² + (-2) - 1 = 8 - 2 - 1 = 5 (положительно).
• Для интервала (-1, 0.5) возьмем t = 0: 2(0)² + 0 - 1 = -1 (отрицательно).
• Для интервала (0.5, +∞) возьмем t = 1: 2(1)² + 1 - 1 = 2 + 1 - 1 = 2 (положительно).

Шаг 5: Запишем решение неравенства

Тогда неравенство 2t² + t - 1 > 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, -1),
• (0.5, +∞).

Теперь вернемся к переменной cosx:

cosx < -1 и cosx > 0.5.

Из первого условия cosx < -1 не имеет решений, так как косинус не может быть меньше -1. Поэтому мы рассматриваем только второе условие:

cosx > 0.5.

Шаг 6: Найдем углы

Косинус больше 0.5 в следующих интервалах:

• x ∈ (0, π/3) ∪ (5π/3, 2π).

Ответ: Решение неравенства 2cos²x + cosx - 1 > 0: x ∈ (0, π/3) ∪ (5π/3, 2π).